《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章_8.5曲面及其方程

第五节曲面及其方程 ·一、曲面研宪的基本问题 ·二、旋转曲面 ·三、柱面与二次曲面 ·四、小结

第五节 曲面及其方程 • 一、曲面研究的基本问题 • 二、旋转曲面 • 三、柱面与二次曲面 • 四、小结

一、曲面研究的基本问题 例建立球心在M,(x,人半径为R的球面方程 解 设M(x,y,z)是球面上任意一点 根据题意有|MM,=R x-'+(0-)+(2-2=R 所求方程为(x-x}+(y-2+(a-z=R 特殊地：球心在原点时方程为x2+y2+z2=R 球面的一般方程为 Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0

解 根据题意有 | MM0 | R       2 2 2 0 0 0 x x y y z z R             2 2 0 2 0 2 所求方程为 x  x0  y  y  z  z  R 特殊地：球心在原点时方程为 2 2 2 2 x  y  z  R 2 2 2 0 Ax Ay Az Dx Ey Fz G        球面的一般方程为 0 0 0 0 例1 ( , , ) 建立球心在M x y z R 、半径为 的球面方程 一、曲面研究的基本问题 设M x y z ( , , )是球面上任意一点

例2求与原点O及M(2,3,4)的距离之比为1：2的点 的全体所组成的曲面方程。 解设M(K,y,z)是曲面上任意一点 根据题意有 M011 1MM2' x2+y2+32 V(x-2}+(y-3+(-421 所家方程为++(++)-

解 , 2 1 | | | | 0  MM MO 根据题意有       , 2 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2         x y z x y z   . 9 116 3 4 1 3 2 2 2 2                  所求方程为 x  y z 0 2 (2,3,4) 1 2 . 例 求与原点O M及 的距离之比为 ：的点 的全体所组成的曲面方程 设M x y z ( , , )是曲面上任意一点

例3已知4A(1,2,3)B(2,-1,4),求线段AB的垂直平 分面的方程. 解设M(x,y,z)是所求平面上任一点， 根据题意有|MA=MB, V(x-1}+(y-2}+(a-3 =V(x-22+(0y+12+(a-4, 化简得所求方程2x-6y+2z-7=0

根据题意有 | MA || MB |,       2 2 2 x  1  y  2  z  3  2  1  4 , 2 2 2  x   y   z  化简得所求方程 2x  6 y  2z  7  0. 解 设M x y z ( , , ) , 是所求平面上任一点 3 (1,2,3) (2, 1,4) . 例 已知A B AB 、  ，求线段 的垂直平 分面的方程

例4方程z=(x-1)2+（y-2)2-1的图形是怎样的？ 解根据题意有z≥-1 71 用平面z=c去截图形得圆： (x-1)2+(y-2)2=1+c(c≥-1) 当平面z=C上下移动时， 得到一系列圆 圆心在(1,2，c,半径为V1+c 半径随c的增大而增大，图形上不封顶，下封底

z x o y 例4 方程 ( 1) ( 2) 1 的图形是怎样的？ 2 2 z  x   y   根据题意有 z  1 ( 1) ( 2) 1 ( 1) 2 2 x   y    c c   当平面z  c上下移动时， 得到一系列圆 图形上不封顶，下封底． 解 c 圆心在(1,2, ) 1 c c ，半径为  用平面z=c去截图形得圆： 半径随c的增大而增大

以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： (1)已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程. (讨论旋转曲面) (2)已知坐标间的关系式，研究曲面形状， (讨论柱面、二次曲面)

以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论旋转曲面） （讨论柱面、二次曲面） （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．

二、旋转曲面 定义以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面。 这条定直线叫旋转 曲面的轴. 播放

二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为 旋 转曲面 . 这条定直线叫旋转 曲面的 轴 ． 播放

来求y0z坐标面上的已知曲线C:f(y,z)=0 绕z轴旋转一周的旋转曲面方程. 设M(x,y,z)是曲面上任意一点， M是由曲线C上的点M1(0,y1,z1) M1(0,y1,z1) M 旋转而来，可得 f(y,z)=0 (1)7=1 (2)点M到z轴的距离 d=vx2+y2=yl 将z=1,1=±Vx2+y2代入 f(1,31)=0

x o z y f ( y,z)  0 (0, , ) 1 1 1 M y z  M 1 (1) z  z （2） 点M 到z轴的距离 | | 1 2 2 d  x  y  y 将 代入 2 2 1 1 z  z , y   x  y ( , ) 0 f y1 z1  d 来 求 yoz坐标面上的已知曲线 C: f ( y,z)  0 绕z轴旋转一周的旋转曲面方程. 设 M x y z ( , , ) , 是曲面上任意一点 1 1 1 M C M y z 是由曲线 上的点 (0, , ) 旋转而来,可得

将z=z1,1=±Vx2+y2代入f(y1,乙1)=0 得方程f±x2+只，z=0, 同理：Jy0z坐标面上的已知曲线f(y,z)=0 绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为 fy,±x2+z2)=0

将 代入 2 2 1 1 z  z , y   x  y ( , ) 0 f y1 z1   ,  0, 2 2 得方程 f  x  y z  同理： yoz坐标面上的已知曲线 f ( y,z)  0 绕 y轴旋转一周的旋转曲面方程为  ,  0. 2 2 f y  x  z 

总之，位于坐标面上的曲线C,绕其上的 一个坐标轴转动，所成的旋转曲面方程可以 这样得到： 曲线方程中与旋转轴相同的变量不动， 而用另两个的变量的平方和的平方根（加正、 负号)替代曲线方程中另一个变量即可

曲线方程中与旋转轴相同的变量不动, 总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的 一个 坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以 这样得到 : 而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、 负号)替代曲线方程中另一个变量即可