《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章多元函数微分法及其应用_9-5 隐函数的求导公式

第五节 第九章 隐强数的求导方法 一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第五节 第九章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 隐函数的求导方法

本节讨论 1)方程在什么条件下才能确定隐函数 例如，方程x+√下+C=0 当C0时，不能确定隐函数 2)在方程能确定隐函数时，研究其连续性、可微性 及求导方法问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1.设函数F(,y在点P(0,o的某一邻域内满足 ①具有连续的偏导数： ②F(x0·1%)=0: ③F,(6)≠0 则方程F(x,)=0在点的某邻域内可唯一确定一个 单值连续函数y=f(x),满足条件10=f(%).并有连续 导数 d (隐函数求导公式) d 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 则方程 单值连续函数 y = f (x) , 并有连续 (隐函数求导公式) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ② ③ 满足条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数

设1=f(x)为方程F(x.1)=0所眸定的隐函数.则 F(x.f(x)≡O 两边对x求导 eF cFdy ≡0 Cx Cr dr 在(·%的某邻域内F≠0 F HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

两边对 x 求导 在 的某邻域内 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若F(x,y)的二阶偏导数也都连续，则还有 二阶导数： dx""ex'F F.dy aa为 F F EwEy-2FxrExEy+FxrEx F HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 二阶导数 : 则还有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.验证方程siny+e-xT-1=0在点0,0)谋邻域 可确定一个单值可导隐函数1=f().并求 出 dxx=0 解：令F(.)=simy-e-xy-1,则 ①F=e-F,=cosy-x连续， ②F(0.0)=0. ③F(0.0)=1≠0 由定理1可知，在x=0的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数1=(x).且 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结

例1. 验证方程 在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解: 令 连续 , 由 定理1 可知, ① 导的隐函数 则 ② ③ 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求

=0 Er=0- e"-T cos 1'-A d dr- X=0 d dr cos-r下=0.y=0.'=-1 (e-')c0s-)-(e-1)-sin1‘-l) 1=0 (C0s1'-x) 7 -3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

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导数的另一求法一 利用隐函数求导 sin1+e-x-1=0.1=1(r） 两边对x求导 x=0 e"-1 c0s1'+e-Y-x1'=0 c0s1-x(0.0) 两边再对x求导 =-1 in1(')+e0s.1“+e-1-3'-x”=0 令x=0,注意此时y=0.=-1 d-r d2x=0=-3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

两边对 x 求导 两边再对 x 求导 令 x = 0 , 注意此时 导数的另一求法 — 利用隐函数求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2.若函数F(x.)满足 ①在点P(x0.0.-)的某邻域内具有连续偏导数， ②F(0.10.6)=0 ③F(0.0,-o）≠0 则方程F(x.)=0在点(x0)某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数z=f(x,y),满足三0=/0·10). 并有连续偏导数 3= Fs. F 定理证明从略，仅就求导公式推导如下 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 满足 ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确 机动 目录 上页 下页 返回 结束

设：=f(x.)是方程F(my)=0所扉定的隐函数.则 F(x.f(3x.1))≡0 两边对x求偏导 Fx+F: 在(xo,0a)的某减内F=0 F 同样可得 F HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

两边对 x 求偏导 同样可得 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束