《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章多元函数微分法及其应用_9-4多元复合函数的求导法则

第四节 第九章 多无复合画数的求导法则 元复合函数 y=f(u),u=g(x) 求导法则 dy dy du dx du dx 微分法则 dy=f'(u)du=f'(u)o'(x)dx 本节内容： 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第四节 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第九章

一、多元复合函数求导的链式法则 定理.若函数u=p(t),v=y(t)在点t可导，z=f(u,v) 在点(u,v)处偏导连续，则复合函数z=f(p(t),y(t)》 在点t可导，且有链式法则 dz Oz du Oz dv dt Ou di av dt 证：设t取增量△t，则相应中间变量 有增量△u,△v, △z= 02 Au+ Bu Ar+o(p)(p=M(A2+(Av)") v HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、多元复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 z = f (u,v) 处偏导连续, 在点 t 可导, t v v z t u u z t z d d d d d d     +   = z 则复合函数 证: 设 t 取增量△t , v v z u u z z     +    = + o (  ) 则相应中间变量 且有链式法则 u v t t 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量△u , △v

△z az△u,az△v,o(P） (p=(△)2+（△）2） △t dM△t △i △t 令△t→0，则有△→0，△v→0， △u du △vdw △t dt' △t dt o(p)_ 0(p) △t 必2+→0 (△t<0时，根式前加”-”号) dz 0z du Oz dv (全导数公式) dt au dt'av di HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

则有u → 0, v → 0, ( 全导数公式 ) t v v z t u u z t z     +     =   t o  + (  ) z u v t t ( ( ) ( ) ) 2 2  = u + v ( )  o  = (△t＜0 时,根式前加“–”号) t v t v t u t u d d , d d →   →   机动 目录 上页 下页 返回 结束 t v v z t u u z t z d d d d d d     +   =

说明：若定理中f(u,v)在点(，v)偏导数连续减弱为 偏导数存在，则定理结论不一定成立 u v 例如：2=f(u,v)= u2+v2 u2+v2≠0 0 2+v2=0 u=t,v=t 易知 02 a0-人Q.o=0.,a0=人Q,0-=0 但复合函数z=f(t,t)=。 dz 1 Oz du,Oz dv =0.1+0.1=0 dt 2 Ou dt av di HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

说明: 若定理中 例如: z = f (u, v) = u = t , v = t 易知: 但复合函数 z = f (t, t) 2 1 d d = t z  t v v z t u u z d d d d     +   = 01+ 01= 0 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 2 t = , 0 2 2 2 2 2 +  + u v u v u v 0 , 0 2 2 u + v = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立

推广：设下面所涉及的函数都可微 1)中间变量多于两个的情形例如，z=f(u,V,w), u=p(t),v=V(t),w=@(t) dz_oz du Oz dv _0z dw dt Ou dt "8v dt "Ow dt =f10+豹w+分o 2)中间变量是多元函数的情形例如， z=f(,),u=0(x,y),V=y(x,y) az_a.u+.=fm+乃 Ox Ou Ox av Ox 0z 0z Ou Oz.Ov Oy Ou 8y Ov Oy =p2+f乃w3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z = f (u,v,w) , 设下面所涉及的函数都可微 . = t z d d = + +  1 2 3 f f f 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, z = f (u,v) , u = (x, y), v = (x, y) =   x z 11 21 = f   + f   12 2 2 = = f   + f     y z z z u v w u v x y x y t t t t u u z d d    t v v z d d    + t w w z d d    + x u u z      x v v z      + y u u z      y v v z      + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 u = (t), v = (t), w = (t)

又如，z=f(x,v),v=W(x,y) 当它们都具有可微条件时，有 f of bv Ox Ox Ov Ox =片+ 0z of a Oy Ov Oy =33 注意： 这里 与 Ox f不同 8 表示固定y对x求导 of 表示固定v对x求导 8x 口诀：分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导 HIGH EDUCATION PRESS ○e0C⊙8 机动目录上页下页返回结束

又如, z = f (x,v), v = (x, y) 当它们都具有可微条件时, 有 x z   1 21 = f  + f   y z   2 2 = f   z = f x x y 注意: 这里 x z   x f   x z   表示固定 y 对 x 求导, x f   表示固定 v 对 x 求导 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 x f   = 与 不同, v 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.设z=e“sinv,u=xy,v=x+y,求 Da Oz Ox"Oy 解： OzOz Ou 0z Ov 8x Ou Ox'Bv Ox =e“sinvy+e"cosv.l e*[y.sin(x+y)+cos(x+y)] 8z Oz Ou,8z Ov Oy Ou 8y'Ov Oy e"sinv .x +e"cosv.1 =e*[x.sin(x+y)+cos(x+y)] HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 设 z e sin v, u xy , v x y , u = = = + , . y z x z     求 解: x z   e v u = sin y z   e v u = sin x v v z      + e v u + cos y v v z      + e v u + cos 1 1 z u v x y x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.u=f(x)=e=xsimy,u ou ox’ay 解 ou_of O1 Oz Ox 8x"0z Ox =2xe2+2+:2+2ze+y+.2xsny =2x(1+2x2sin2 y)ext+xsin2y _af+0[. oydy oz oy =2e*y2++22e+y+.x2c0sy =2(y+x4sin ycosy)es HIGH EDUCATION PRESS 0C08 机动目录上页下页返回结束

例2. ( , , ) , sin , 2 2 2 2 u f x y z e z x y x y z = = = + + y u x u     求 , 解: x u   2 2 2 2 x y z xe + + = x y x y x x y e 2 2 4 2 2 2 sin 2 (1 2 sin ) + + = + x y z x y u y u   2 2 2 2 x y z ye + + = x y x y y x y y e 2 2 4 2 4 sin 2( sin cos ) + + = + x f   = 2 2 2 2 x y z ze + + + y f   = y z z f      + 2 2 2 2 x y z ze + + +  2 xsin y x cos y 2  机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.设z=uv+sint,u=e',v=cost,求全导数 出 解： dz Oz du,Oz dv 0z dt ou di'Ov dt Ot =ve-usint cos t =e'(cost-sint)+cost 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到，下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 设 z = uv + sint , . d d t z z u v t t t t z d d t = v e e t t t t = (cos − sin ) + cos t u u z d d    = t z   + u = e t , v = cost , 求全导数 解: + cost 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号

例4.设w=f(x+y+2,xyz),f具有二阶连续偏导数 Ow 82w 求 0x Ox0z w,分，约 解：令u=x+y+z,y=xyz,则 w=f(u,v) =1+分四 Ow x y Zx y Z =f(x+y+z,xyz)+yz (x+y+=,xyz) 8x8z =f1+f位xy+y乃+[f11+f2xy =f+x+)f位+x2zf2+yf分 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

为简便起见 , 引入记号 , , 2 1 12 u v f f u f f     =    = 例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, 求 , . 2 x z w x w      解: 令 u = x + y + z , v = xyz, x w   w u v x y z x y z w = f (u, v) + f   yz 2 ( , ) 2 + y z f  x + y + z xyz 则 x z w    2 22 2 2 11 12 = f  + y(x + z) f  + xy z f  + y f  + f   xy 12 + f   x y 221 2 , f  , f  机动 目录 上页 下页 返回 结束