《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章_8.6空间曲线及其方程

第六节空间曲孩及其方程 ·一、空间曲孩的一般方程 ·二、空间曲孩的参数方程 ·三、空间曲线在业标面上的投影 ·四、小结练司题

第六节 空间曲线及其方程 • 一、空间曲线的一般方程 • 二、空间曲线的参数方程 • 三、空间曲线在坐标面上的投影 • 四、小结 练习题

·、空间曲线的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 空间曲线的一般方程 特点：曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程

     ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程. x o z y S1 S2 C 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 特点： 一、空间曲线的一般方程

例1方程组 ∫x2+y2=1 表示怎样的曲线？ 2x+3y+3z=6 解x2+y2=1表示圆柱面， 0,-050051 -0.5 2x+3y+3z=6表示平面， x2+y2=1 2x+3y+3z=6 交线为椭圆

例1 方程组 表示怎样的曲线？         2 3 3 6 1 2 2 x y z x y 解 1 2 2 x  y  表示圆柱面， 2 x  3 y  3 z  6 表示平面，         2 3 3 6 1 2 2 x y z x y 交线为椭圆

z=va2-x2-y2 例2方程组 表示怎样的曲线？ 解z=a2-x2-y2 上半球面， 圆柱面， 交线如图蓝色曲线

例2 方程组 表示怎样的曲线？            4 ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 a y a x z a x y 解 2 2 2 z  a  x  y 上半球面, 4 ) 2 ( 2 2 2 a y a x    圆柱面, 交线如图蓝色曲线. x y z O

二、空间曲线的参数方程 x=x(t) y=(t) 空间曲线的参数方程 =(t) 当给定t=t时，就得到曲线上的一个点 (X1,y1,乙1)，随着参数的变化可得到曲线上的全 部点

        ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t 当给定 1 t  t 时，就得到曲线上的一个点 ( , , ) 1 1 1 x y z ，随着参数的变化可得到曲线上的全 部点. 空间曲线的参数方程 二、空间曲线的参数方程

例3如果空间一点M在圆柱面x2+y2=2上以 角速度o绕z轴旋转，同时又以线速度y沿平行于z 轴的正方向上升（其中o、y都是常数），那么点 M构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程. 解 取时间为参数，设当=0时，动 点位于x轴上的A点，经过时间t, 动点由A运动到Mc,z)点， M在xoy面的投影M'(x,y,0) x=acosot y=asinot X vt 螺旋线的参数方程

设当t=0时，动 点位于x轴上的A点, 经过时间t ， 动点由A运动到M(x,y,z)点, 例 3 如果空间一点M 在圆柱面 2 2 2 x  y  a 上 以 角速度 绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z 轴的正方向上升（其中 、v都是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程． A  M M  M 在 xoy面的投影 M ( x, y,0) x  a cos t y  a sin t z  vt t 螺旋线的参数方程 取时间t为参数， 解 x y z o

螺旋线的参数方程还可以写为 x=acose y=asing z=b0 (8=ot,b=) 螺旋线的重要性质： 上升的高度与转过的角度成正比， 即0：0。→0。+x, z:b0。→b0+ba, =2π，上升的高度 h=2b元 螺距

螺旋线的参数方程还可以写为            z b y a x a sin cos ( , )    v  t b  螺旋线的重要性质： : ,   0   0   : , z b 0  b 0  b 上升的高度与转过的角度成正比． 即   2, 上升的高度 h  2b 螺距

例4.将下列曲线化为参数方程表示： ∫x2+y2=1 (2) z=va2-x2-y2 2x+3z=6 x2+y2-ax=0 解：()根据第一方程引入参数，得所求为 x=cost (0≤t≤2π) z=3(6-2c0st) (2)将第二方程变形为(x-)2+y2=4,故所求为 X=号+号c0st y=号sint (0≤t≤2π) z=aV月-cos1

例4. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为 故所求为 得所求为

三、空间曲线在坐标面上的投影 如图：投影曲线的研究过程， 空间曲线 投影柱面 投影曲线

如图:投影曲线的研究过程. 空间曲线 投影柱面 投影曲线 三、空间曲线在坐标面上的投影

投影柱面： 以空间曲线C为准线，母线垂直于所投影的坐标 面所形成的柱面. 设空间曲线的一般方程： F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 消去变量z后得：H(X,y)=0 必包含曲线C关于xoy的投影柱面 此柱面必包含曲线C,以曲线C为准线、母线垂直 于所投影的坐标面

     ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 消去变量z后得： H x y ( , ) 0  设空间曲线的一般方程： 以空间曲线C为准线，母线垂直于所投影的坐标 面所形成的柱面. 投影柱面： 必包含曲线C关于xoy的投影柱面 此柱面必包含曲线C,以曲线C为准线、母线垂直 于所投影的坐标面