《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章_9.1多元函数的基本概念

第九章 多元苗数散分法 及其寇用 一元品数散分学 推广 多元满数散分学 滋意：善于美比，区别异同

推广 第九章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分法 及其应用

第一节多元品数的基车概念 ·一、年面点集雅空同 ·二、多元岛数概念 ·三、多元岛数的极限 ·四、多元品教的连续性 ·五、小结练习题

第一节 多元函数的基本概念 • 一、平面点集 n维空间 • 二、多元函数概念 • 三、多元函数的极限 • 四、多元函数的连续性 • 五、小结 练习题

一、平面点集n维空间 1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点 集，记作 E={c,y川（化，）具有性质P. 例如，平面上以原点为中心、为半径的圆内所有点 的集合是 C={化，y川x2+2<2},或C={P11OPr以. 其中P表示坐标为化，y)的点，IOP表示点P到原点O的距离

一、平面点集 n维空间 1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点 集记作 E{(x y)| (x y)具有性质P} 例如 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点 的集合是 C{(x y)| x 2y 2<r 2 } 或C{P| |OP|r} 其中P表示坐标为(x y)的点 |OP|表示点P到原点O的距离

(1)邻域 设P(x,yo)是x0y平面上的一个点，6是某 一正数，与点P(,y)距离小于的点P(x,y) 的全体，称为点P的6邻域，记作U(P,δ) U(P,6)={P|PPK6} =《x,y)川v(-)2+(y-)2<6} P 点P的去心邻域记为U(P)={P0<PP1<δ} 说明：若不需要强调邻域半径δ，也可写成U(P)或U(P):

（1）邻域 P0  0 U P( , )    | |   P P P0 ( , ) | ( ) ( ) . 2 0 2 0  x y x  x  y  y    说明:若不需要强调邻域半径 ,也可写成 o 0 0 U P U P ( ) ( ). 或 点 P0 的去心邻域记为 000 000 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) P x y xoy P x y P x y P U P     设 是 平面上的一个点， 是某 一正数，与点 距离小于 的点 的全体，称为点 的 邻域，记作

(2)点与点集的关系 设E是平面上的一个点集，P是平面上的 一个点.如果存在点P的某一邻域U(P)cE, 则称P为E的内点.E的内点属于E; 如果存在点P的某一邻域U(P), 使得U(P)∩E=Φ，则称P为E 的外点

（2）点与点集的关系 ( ) . E P P U P E P E  设 是平面上的一个点集， 是平面上的 一个点．如果存在点 的某一邻域 ， 则称 为 的内点 E E 的 内 点 属 于 ; E P1  ( . ) ( ) P U P U P E P E   如果存在点 的某一邻域 ， 使得 ， 称 为 的外点 则 P2 

如果点P的任一个邻域内既有属于E的点， 也有不属于E的点（点P本身可以属于E,也 可以不属于E),则称P为E的边界点. E的边界点的全体称为E的边界， 记作：OE 如果点P的任何一个去心邻域内总有属于点集E的点， 则称P为E的聚点

P E E P E E P E 如果点 的任一个邻域内既有属于 的点， 也有不属于 的点（点 本身可以属于 ，也 可以不属于 ），则称 为 的边界点． E P E E E 的边界点的全体称为 的 , 记作： 边界 如果点P的任何一个去心邻域内总有属于点集E的点， 则称P为E 的聚点

说明： 内点一定是聚点； 点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E. 例如，{(x,y)川0<x2+y2≤1} (0,0)是聚点但不属于集合. 例如，{(x,y)川x2+y2=1 边界上的点都是聚点也都属于集合

点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． { ( , ) | 0 1} 2 2 例如, x y  x  y  (0,0) 是聚点但不属于集合． { ( , ) | 1} 2 2 例如, x y x  y  边界上的点都是聚点也都属于集合． 内点一定是聚点； 说明：

(3)区域 如果点集E的点都是内点，则称E为开集. 如果点集E的边界OEcE,则称E为闭集， 例如，E1={(x,y)1<x2+y2<4}是开集. E2={(x,y)1≤x2+y2≤4} 是闭集。 E3={(x,y)1≤x2+y2<4 既非开集， 也非闭集

如 果 点 集 E E 的 点 都 是 内 点 ， 则 称 为 开 集 . { ( , )1 4} 2 2 例如， E1  x y  x  y  是开集． 如 果 点 集 E E E E 的 边 界   ， 则 称 为 闭 集 . (3)区域 2 2 2 E x y x y     {( , ) 1 4} 2 2 3 E x y x y     {( , ) 1 4} 是闭集． 既非开集， 也非闭集．

设D是点集.如果对于D内 任何两点，都可用折线连结起来， 且该折线上的点都属于D,则称 点集D为连通集或称D是连通的. 连通的开集称为区域或开区域， 例如，{(x,y)川1<x2+y2<4

{ ( , ) | 1 4} . 2 2 例如， x y  x  y  x y o 连通的开集称为区域或开区域．   D D D D D 设 是点集．如果对于 内 任何两点，都可用折线连结起来， 且该折线上的点都属于 ，则称 点集 为连通集或称 是连通的．

开区域连同它的边界一起称为闭区域. 例如，{(x,y)川1≤x2+y2≤4}. 对于点集E如果存在正数r,使得 ECU(O,r) 其中O是坐标原点，则称E为有界点集， 否则称为无界点集. 例如，{(x,y)川1≤x2+y2≤4}有界闭区域； (x,y)川x+y>0} 无界开区域

( , ) E r E U O r O E  对于点集 如果存在正数 ，使得 其中 是坐标原点，则称 为有界点集， 否则称为无界点集． { ( , ) | 1 4} . 2 2 例如， x y  x  y  { ( x, y ) | x  y  0} 有界闭区域； 无界开区域． { ( , ) | 1 4} 2 2 例如， x y  x  y  x y o 开区域连同它的边界一起称为闭区域