《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章_12.2常数项级数的审敛法

第二节常数项级数的审效法 ·一、正项级赵及其审敛法 ·二、安精级数及其审敛法 ·三、绝对收敛与条件收敛 ·四、绝对收敛级数的性质 ”五、小结徐习题

第二节 常数项级数的审敛法 • 一、正项级数及其审敛法 • 二、交错级数及其审敛法 • 三、绝对收敛与条件收敛 • 四、绝对收敛级数的性质 • 五、小结 练习题

一、正项级数及其审敛法 1.定义：如果级数∑4中各项均有4n≥0， 1=1 这种级数称为正项级数 2.正项级数收敛的条件 设级数叫1+山2+.+4n+.是正项级数， Sn是其部分和，则有S≤S2≤.≤Sn≤. 即部分和数列{s为单调增加数列. 定理1正项级数收敛一部分和所成的数列s有界

1.定义: 1 0 n n n u u   如果级数 中各项均有  ， 这种级数称为正项级数. 1 2 1 2 n n n u u u s s s s         设级数 是正项级数， 是其部分和，则有 2.正项级数收敛的条件 1 . n 定理 正项级数收敛部分和所成的数列 s 有界 即部分和数列 { } sn 为单调增加数列. 一、正项级数及其审敛法

正项级数收敛一部分和所成的数列5n有界. 例判定22+的敛散性， 00 解由于，1 2”+1 2,故级数的部分和 11 Sn= 2+122+1 2”+1 11 八+22大···+ 由定理1知，该正项级数收敛。 这个例启示我们：判定一个正项级数的敛散性， 可与另一个已知敛散性的正项级数比较来确定

例 判定  的敛散性.  1 2  1 1 n n 解 2 1 1  n 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2        n n S  n 2 1 2 1 2 1 2    n 2 1  1 由定理1知, 故级数的部分和 可与另一个已知敛散性的正项级数比较来确定. , 2 1 n   1 该正项级数收敛. 这个例启示我们:判定一个正项级数的敛散性, 由于 正项级数收敛  部分和所成的数列 ns 有界

0 0 定理2（比较审敛法）设∑4和∑y均为正项级数， n=1 n=1 且≤ynm=1,2b若∑，收敛，则∑4.收敛； n=l 反之，若∑4发散，则∑，发散。 n=] n=1 证明（设o=∑。“4，≤y, s 且sn=41+2++4m≤y1+y2++yn≤o, 即部分和数列有界.】 收敛

证明 n n 1 2 且s u u u     1 (1) n n  v   设   , u v n n    , 即部分和数列有界 1 . n n u     收敛 1 1 1 1 1 1 ( 1,2, ) . 2( ) n n n n n n n n n n n n n n u v u v n v u u v                     设 和 均为正项级数， 且 ，若 收敛，则 收敛； 定理 比较审敛法 反之，若 发散，则 发散 1 2 n     v v v

(2(反证法)假设∑，收敛， =1 4≤y,“∑4.收敛，与题设矛盾。 2发散 定理证毕 00 推论设∑4n和∑'均为正项级数，若∑y收敛， n=1 n=1 n=1 且存在正整数N,使得当n≥N时有wn≤kyn(k>0) 成立，则∑4收敛：若∑，发散，且存在正整数N, 使得当n≥N时有n≥yn(k>0)成立，则∑，发散

1 (2)( ) n n v   反证法 假设 收敛， 1 . n n v     发散 定理证毕. 1 1 1 1 1 1 , ( 0) , ( 0) n n n n n n n n n n n n n n n n u v v N n N u kv k u v N n N u kv k u                         设 和 均为正项级数，若 收敛， 且存在正整数 使得当 时有 成立，则 收敛；若 发散,且存在正整数 使得当 时有 成立，则 推论 发散. 1 , n n n n u v u     收敛，与题设矛盾

例1讨论P-级数 1 1 4+.+1 1 1+ +.的收敛性(p>0) 解设ps1,1 则P-级数发散 n 设p>1,由图可知 1.1 (p>1) 5=1+2p+3++ 1+++

解 设 p  1, 1 1 , p n n  则P 级数发散. 设 p  1, o y x ( 1) 1  p  x y p 1 2 3 4 由图可知 1 1 n p p n dx n x    1 1 1 1 2 3 n p p p s n      2 1 1 1 n p p n dx dx x x        1 1 1 1 1 1 .( 0) 2 3 4 p p p p P p n         例 讨论 级数 的收敛性

=+-*品1+ 即s有界，则P-级数收敛 P-级数 当p>1时，收敛 当p≤1时，发散 重要参考级数：几何级数，P-级数，调和级数

1 1 n p dx x    1 1 1 1 (1 ) 1 p p n      1 1 p 1    , n 即s 有界 则P 级数收敛. 1 , 1 , p P p       当 时 收敛 级数 当 时 发散 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数

例2证明级数 1 是发散的. n=1 √n(n+1) 证明 发散， n(n+1) n+1, 而级数乃1 Rn+1 :级数 发散 台Vnn+1) 娇习雪r如o2女

证明 1 1 , n n( 1) n 1    1 1 , n n 1    而级数  发散 1 1 . n n n( 1)     级数  发散 1 1 2 . n n n( 1)    例 证明级数 是发散的 1 2 0 1 1 (1) 2 sin (2) d 3 1 n n n n n x x x       练习  

定理3（比较审敛法的极限形式）： 设∑，和之均为正项级数，且1im=l 0 1=1 n=1 n-→oVn (山)如果0≤10,存在NeZ,当n>N时， I-k8)

定理3(比较审敛法的极限形式) : 1 1 1 1 1 1 lim (1) 0 (2) 0 n n n n n n n n n n n n n n n u u v l v l v u l v u                            设 和 均为正项级数，且 如果 ，且 收敛，则 收敛； 如果 ，且 发散，则 发散. 证:

(l-e)yn≤un≤(l+e)ym(n>N) (1)当0≤l<+oo时，取=1，即wn≤(I+1)yn,由定理2 推论知，若∑y收敛，则∑4，收敛。 =1 n=1 (2)由已知条件imn=k必存在(0≤k<+o),若假 n-→o儿n 设，收敛，由①知∑，必定收敛，而∑，发散， 因此∑4也发散

( ) ( ) ( ) n n n l v u l v n N        1 1 1 1 (2) lim (0 ), , (1) , . n n n n n n n n n n n v k k u u v v u                  由已知条件 = 必存在 若假 设 收敛 由 知 必定收敛,而 发散 因此 也发散