《高等数学》课程教学资源（书籍教材）高等数学下册电子书_同济大学高等数学习题全解指南第七版下

下册目录 第八章向量代数与空间解析几何 习照8向层及其线性 积混合积 方程 习85曲面及其方 习题8-6空间曲线及其方程 总习题八 第九章多元函数微分法及其应用 习题91多元函数的基本概念 习题9-2 偏导数 习题9-3 习题9 :元复合函数的求导法则 向数微 学的几何应用 习题8多元函数的极值及其求法 习题0.0 元函数的泰勒公式 习题910最小二乘法 总习题九 第十章重积分 习题10-1 二重积分的概念与性质 习题10-2 二重积分的计算法 习题10-3 总习题十 秋的分 第十一章曲线积分与曲面积分 习题111对弧长的曲线积分 习题11-2对坐标的曲线积分 习题3格林公式及其应用 习题114对面积的曲面积分 习题11-5 对坐标的曲面积分 习题11-6 习题121常数项级数的概念和性质 习题12-2常数项级数的审敛法 习题12-3 系级数 习题12-4 函数展开成幂级数 习题125函数的幂级数展开式的应用 习题12-6函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质 习题12-7 傅里叶级数 一般周期函数的傅里叶级数

下册目录 第八章 向量代数与空间解析几何 习题 8-1 向量及其线性运算 习题 8-2 数量积 向量积 混合积 习题 8-3 平面及其方程 习题 8-4 空间直线及其方程 习题 8-5 曲面及其方程 习题 8-6 空间曲线及其方程 总习题八 第九章 多元函数微分法及其应用 习题 9-1 多元函数的基本概念 习题 9-2 偏导数 习题 9-3 全微分 习题 9-4 多元复合函数的求导法则 习题 9-5 隐函数的求导公式 习题 9-6 多元函数微分学的几何应用 习题 9-7 方向导数与梯度 习题 9-8 多元函数的极值及其求法 习题 9-9 二元函数的泰勒公式 习题 9-10 最小二乘法 总习题九 第十章 重积分 习题 10-1 二重积分的概念与性质 习题 10-2 二重积分的计算法 习题 10-3 三重积分 习题 10-4 重积分的应用 习题 10-5 含参变量的积分 总习题十 第十一章 曲线积分与曲面积分 习题 11-1 对弧长的曲线积分 习题 11-2 对坐标的曲线积分 习题 11-3 格林公式及其应用 习题 11-4 对面积的曲面积分 习题 11-5 对坐标的曲面积分 习题 11-6 高斯公式 通量与散度 习题 11-7 斯托克斯公式 环流量与旋度 总习题十一 第十二章 无穷级数 习题 12-1 常数项级数的概念和性质 习题 12-2 常数项级数的审敛法 习题 12-3 幂级数 习题 12-4 函数展开成幂级数 习题 12-5 函数的幂级数展开式的应用 习题 12-6 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质 习题 12-7 傅里叶级数 习题 12-8 一般周期函数的傅里叶级数 总习题十二

第八章 向量代数与空间解析几何 习题8-1 向量及其线性运算 21.设w=a-b+2c,v=-a+3b-c.试用a,b,c表示2u-3u. 解2u-3)=2(a-b+2c)-3(-a+3b-c) =5a-11b+7c. 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形 证如图8-1，设四边形ABCD中AC与BD交于点M,已知Ai=MC.D=ME A店=Ai+店=M元+D丽=D元 即AB∥DC且|AB|=|DC|.因此四边形ABCD是平行四边形 图8-1 图8-2 ☑3.把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1,D2,D,D4,再把各分点与点A连接 试以AB=c.BC=a表示向量D,.DA,D和D4A. 证如图8-2，根据题意知 D={a,=a,D,=a,D=了a, ,=-(店+BD)=-5a-C p,=-(ai+B)=-5a-C ,A=-(Ai+BD)=-了a-C

4 一、《高等数学》（第七版）下册习题全解 D4i=-(Ag+BD)=-专a-c ☑4.已知两点M,(0,1,2)和M2(1,-1,0).试用坐标表示式表示向量M,及 -2M1M2 解M,M=(1-0,-1-1,0-2)=(1,-2,-2) -2M1M3=-2(1,-2.-2)=(-2.4,4). 25.求平行于向量a=(6,7,-6)的单位向量 解向量▣的单位向量为日，故平行于向量口的单位向量为 日6,7-6)=品7 其中|a|=√62+72+(-6)2=11. 忍6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A(1,-2.3),B(2.3,-4).C(2,-3.-4).D(-2.-3.1) 解A点在第四卦限，B点在第五卦限，C点在第八卦限，D点在第三卦限。 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置 A(3.4.0),B(0.4.3).C(3.0.0）.D(0.-1.0). 解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为 零.比如x0y面上的点的坐标为(x00,0),x0:面上的点的坐标为(x00,0)0:面 上的点的坐标为(0，yo,0）. 在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零。 比如x轴上的点的坐标为(x0,0,0)y轴上的点的坐标为(0，o.0):轴上点的坐标 为(0,0,0） A点在xO,面上，B点在O:面上，C点在x轴上，D点在y轴上. ☑8.求点(，b,c)关于(1)各坐标面：(2)各坐标轴：(3)坐标原点的对称点的 坐标. 解(I)点(a,b,c)关于xO面的对称点为(a,b,-c),关于：面的对称点是 (-a,b,c),关于0x面的对称点为(a,-b,c). (2)点(a,b,c)关于x轴的对称点是(a.-6,-).关于y轴的对称点是(-u b,-c),关于：轴的对称点是(-a,-b.c). (3)点(a,b,c)关于坐标原点的对称点是(-，-b,-c) 9.自点P(0,)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线.写出各垂足的坐怀。 解设空间直角坐标系如图8-3.根据题意.P,F为点P。关于：面的垂线 垂足F坐标为(xo,0,n):PD为点P。关于仍面的垂线.垂足D坐怀为(n。.0): PE为点P。关于：面的垂线，垂足E坐标为(0.an) PaA为点P,关于x轴的垂线，垂足A的坐标为(0.0)：PB为点P。关于，轴

第八章向量代数与空间解析几何 的垂线，垂足B的坐标为(0，o,0):P。C为点P。关于z轴的垂线，垂足C的坐标为 (0.0.o） 图8-3 10.过点P,(00,o)分别作平行于：轴的直线和平行于x0y面的平面，问在它们 上面的点的坐标各有什么特点？ 解如图8-4，过P。且平行于：轴的直线1上的点的坐标，其特点是，它们的横 坐标均相同，纵坐标也均相同. 而过点P。且平行于xOy面的平面π上的点的坐标，其特点是，它们的竖坐标均 相同. 图8-4 11.一边长为a的正方体放置在x面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在 x轴和y轴上，求它各顶点的坐标 解如图8-5，已知AB=a,故0A=0B=a,于是各顶点的坐标分别为 4.o-o.0.-小0小号 -号.小o9小

6 一、《高等数学》（第七版）下册习题全解 图8-5 12.求点M(4,-3,5)到各坐标轴的离. 解点M到x轴的距离山1=√(-3)2+52=34，点W到y轴的距离小2 √42+57=√41.点M到：轴的距离d=√42+（-3)下=√/25=5. 213.在y0:面上，求与三点A(3.1,2),B(4,-2,-2)和C(0.5,1)等距离的点. 解所求点在y0:面上，不妨设为P(0,y),点P与三点A,B.C等距离， |P|=√32+(y-1)2+(:-2)下.1Pg|=√43+（y+2)+(:+2)2 1P元|=√(y-5)2+(:-1) 由|P|=|P店|=P元|知 √32+(y-1)2+(:-2)2=42+(0+2)2+(:+2)2=√(y-5)2+(:-1)2 即 9+(y-1)2+(:-2)2=16+(y+2)2+(:+2)2 19+(y-1)2+(:-2)2=(y-5)2+(:-1)2 解上述方程组，得y=1,:=-2.故所求点坐标为(0.1.-2). 14.试证明以三点A(4.1.9),B(10.-1.6).C(2.4.3)为顶点的三角形是等腰直角 三角形. 证由|AB|=√(10-4)2+(-1-1)2+(6-9)2=7. 11=√(2-4)2+(4-1)2+(3-9)2=7. |BC|=√/(2-10)2+(4+1)'+(3-6)=98=75 知M店=AC1及B配12=1A2+AC12.放△ABC为等胶直角三角形 ☑15.设已知两点M,(4.2.1)和M,(3.0.2).计算向量1,1的模.方向余弦和方 向角. 解向量 M,M=(3-4.0-2.2-1)=(-1.-2.1)

第八章向量代数与空间解析几何 7 其模|M,川|=√(-1)2+(-2)2+12=4=2.其方向余弦分别为 wa=-m=-my分 方向角分别为Q=子mB=子，y=号 16.设向量的方向余弦分别满足(1)cosa=0:(2)co%B=1;(3)co8a=c08B=0,问这 些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？ 解(1)由c0sa=0知a=7,故向量与x轴垂直，平行于y0:面 (2)由c0sB=1知B=0,故向量与y轴同向，垂直于x0z面. (3)由coa=6@B=0知c=B=2,故向登垂直于x轴和y轴，即与：轴平行， 垂直于xO,面， ✉17。设向量r的模是4，它与：轴的夹角是牙，求r在：轴上的投彬 解已知r=4,则P,r=rm0=4co牙=4×子=2. 。18.一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x轴y轴和z轴上的投影依次为4，-4和 ?.求这向量的起点A的坐标. 解设A点坐标为(x,),则 AB=(2-x,-1-y,7-), 由题意知 2-x=4,-1-y=-4.7-x=7 故x=-2,y=3.2=0,因此A点坐标为(-2,3,0) a19.设m=3i+5列+8k,n=2i-4与-7k和p=5i+j-4k.求向量a=4m+3n-p在x 轴上的投影及在，轴上的分向量 解a=4m+3n-p=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k) =13i+7j+15k, a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为i 习题8-2N 数量积向量积·混合积 1.设a=3i-j-2k,b=i+2j-k,求 (1)4·b及a×b:(2)(-2a)·3b及a×2b:(3)a.b的夹角的余弦 解(1)a·b=(3,-1,-2)·(1,2,-1) =3×1+(-1)×2+(-2)×(-1)=3

8 一、《高等数学》（第七版）下册习题全解 i j k a×b=3-1-2=(5.1.7). 12-1 (2)(-2a)·3b=-6(a·b)=-6×3=-18. a×2b=2(a×b)=2(5,1.7)=(10,2,14). 6).m 3 3 3 =14622 a2.设a,b.c为单位向量，且满足a+b+c=0,求a·b+b·c+c·a 解已知|a|=|b|=|c=1,a+b+c=0,故(a+b+c)·(a+b+c)=0. 即|a|2+|b|2+c|2+2a·b+2h·c+2c·a=0.因此 a.b.b.cvc.a-(lal:1812.1e1)-3 3.已知M,(1,-1.2),M2(3,3.1)和M3(3.1.3).求与M,.M2同时垂直的单 位向量。 解1，M=(3-1,3-(-1).1-2)=(2.4.-1) M2M3=(3-3,1-3,3-1)=(0,-2.2). 由于M,M×M2M与M,M,M2M同时垂直.故所求向量可取为 ±(M,M,×M,) a=TM,xn,T' i j k M,M×M21=24-1=(6,-4,-4) 0-22 1M,7×M2M1=62+(-4)2+(-4)下=68=2/17 指44六清动 3 2 ✉4.设质量为100kg的物体从点M,(3.1,8)沿直线移动到点1(1,4.2).计算重力 所作的功（坐标系长度单位为m,重力方向为：轴负方向）， 解M1M2=(1-3.4-1.2-8)=(-2.3.-6). F=(0.0.-100×9.8)=(0.0,-980). W=F·M1M2=(0.0,-980)·(-2.3,-6)=5880(J). 回5.在杠杆上支点0的一侧与点0的离为x,的点，处，有一与P成角心，的方 F,作用着：在0的另一侧与点0的距高为s,的点P,处.行一与0P成角，的力F 作用着（图8-6）.间a,.F,.下，符介怎样的条件才能使杠杆保持

第八章向量代数与空间解析几何 9 平衡？ F 8入 1 P:P 图8-6 解如图8-6.已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由 对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为 F1|x1sin01-|F2|x2sin02=0, 即 Fxsin 01=F2 x2sin 02. a6.求向量a=(4,-3,4)在向量b=(2,2,1)上的投影. 解ma=6.422山-g2 √22+22+1下 27.设a=(3.5,-2),b=(2,1.4),问A与4有怎样的关系，能使得Aa+ub与z轴 垂直？ 解Aa+ub=A(3.5,-2)+u(2,I.4)=(3A+2μ，5入+4，-2A+4μ) 要Aa+ab与：轴垂直，即要(Aa+ub)⊥(0,0,1)，即 (Aa+b)·(0.0,1)=0, 亦即 (3A+2μ，5A+4,-2A+4u）·(0,0,1)=0, 放-2A+4u=0,因此当A=2μ时能使Aa+ub与：轴垂直. 8.试用向量证明直径所对的例周角是直角. 证如图8-7，设AB是圆0的直径，C点在圆周上，要证LACB=只要证 AC.B配=0即可.由 AC.BC=(Ad+O元)·(Bd+OC =Ad.Bd+A0.0元+0元.B0+10C12 =-A012+Ad.0元-A6.0C+10C12=0. 故AC⊥BC.∠ACB为直角. 图8-7 9.已知向量a=2i-3对+k,b=i-j+3k和c=i-2j,计算：

10 一、《高等数学》（第七版）下册习题全解 (1)(a·b)c-(a·c)b:(2)(a+b)×(b+c):(3)(a×b)·c 解(1)a·b=(2.-3.1)·(1,-1,3)=8,a·c=(2,-3,1)·(1,-2,0)=8. (a·b)c-(a·c)b=8(1,-2.0)-8(1.-1,3)=(0,-8.-24) =-8j-24k. (2)a+b=(2,-3.1)+(1,-1,3)=(3,-4,4), b+c=(1,-1.3)+(1,-2.0)=(2,-3,3), i jk (a+b)×(b+c)=3-44=(0.-1,-1)=-j-k 2-33 2-31 (3)(a×b)·c=1-13=2 1-20 四10.已知0=i+3k,03=j+3k,求△0AB的面积. 解由向量积的几何意义知 Sao=子0ix0i, i j k 0i×0i=103=(-3,-3,1) 013 0i×0i|=√(-3)2+(-3)2+1=/19 故 11.已知a=(a,a,a:),b=(b,b,.b),c=(c,c,c,).试利用行列式的性质 证明： (axb)·c=(bxc)·a=(exa)·b. bb.h. 证因为(a×b)·c=b,b,b:.(bxc)·a=c,6,c: e.c,c. a.a,d c,e,c: (cxa)·b=a,a: b,b、b: a,u,a.b.b.b.c. 而行列式的性质知b,6,6:=,:=，“，:故 0,a6,6,6 (axb）·c=(b×c)·a=(c×a)·h

第八章向量代数与空间解析几何 11 12.试用向量证明不等式： √a+a+a,/所+b+b≥|a,b1+ab2+ab, 其中a1,a2,a3,b1,b2,b3为任意实数.并指出等号成立的条件. 证设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3）.由a·b=ab|cos(a,b)知， a·b|=|a川b‖eos(a,b)|≤allb|,从而 a,b+ab2+a03≤√a+a+a6+b+b, 当a与4成比锅，母公号-号时，上述等式成立 阿题83 平面及其方程 2a1.求过点(3,0，-1)且与平面3x-7y+5:-12=0平行的平面方程. 解所求平面与已知平面3x-7y+5:-12=0平行.因此所求平面的法向量可 取为n=(3,-7,5),设所求平面为 3x-7y+5z+D=0. 将点(3,0，-1)代人上式得D=-4.故所求平面方程为 3x-7y+5:-4=0. a2.求过点M。(2,9,-6)且与连接坐标原点及点M。的线段0M。垂直的平面方程. 解0M。=(2,9,-6).所求平面与0M垂直，可取n=0M。,设所求平面方程为 2x+9y-6z+D=0. 将点Mn(2,9.-6)代入上式，得D=-121.枚所求平面方程为 2x+9y-6:-121=0. 3.求过(1,1，-1)，(-2，-2,2)和(1，-1,2)三点的平面方程. x-1y-1云+1 解由-2-1-2-12+1=0，得x-3y-2:=0,即为所求平面方程 1-1-1-12+1 注设M(x,y,2)为平面上任一点，M:(x,)(i=1,2,3)为平面上已知点 由M,·(M,M×M1M)=0,即 x-x1y-y1名-21 x2-x12-12-1=0, x3-1y为-1-1 它就表示过已知三点M,(i=1,2,3)的平面方程 为4.指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面： (1)x=0: (2)3y-1=0: