《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十一章_11-1对弧长的曲线积分

第十一章 曲孩积分与曲面积分 积分学 定积分二重积分三重积分曲线积分曲面积分 积分域 区间域平面域 空间域 曲线域 曲面域 对弧长的曲线积分 曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 曲面积分 对坐标的曲面积分

第十一章 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分

第一节对孤长的曲孩积分 ·一、问题的提出 ·二、对孤长曲孩积分的橇念 ·三、对孤长曲线积分的计算 ·四、儿何与物理意义 ·五、小猪思考题

第一节 对弧长的曲线积分 • 一、问题的提出 • 二、对弧长曲线积分的概念 • 三、对弧长曲线积分的计算 • 四、几何与物理意义 • 五、小结 思考题

一、问题的提出 y B 实例：曲线形构件的质量 假设在一曲线任一点(x,y) M2 处的密度为p(x,y), A M Mi (p(x,y)≥0且连续). 0 分割将曲线AB分为段 A=Mo,M,M2,M1,M=B, 设第段弧MM,的长度为△S,(i=1,2,m)

实例:曲线形构件的质量 o x y A B Mn1 Mi Mi1 M2 M1 L 分割 0 1 2 1 , , , , , , n n AB n A M M M M M B    将曲线 分为 段 ( , ) ( , ), ( ( , ) 0 ). x y x y x y    假设在一曲线任一点 处的密度为 且连续 一、问题的提出 1 ,( 1,2, , ) i i i 设第i M M s i n 段弧  的长度为 

近似取(5,7：)∈△S, B L M △M:≈p(5,7:)AS； (5,n) M i=1,2,.,n M2 A M 求和M≈2p5,n)A. i- 取极限 设元=2{△，} M)As

取极限 0 1 lim ( , ) . n i i i i M s          求和 1 ( , ) . n i i i i M s        ( , ) , i i i 取    s ( , ) 1,2, , M s i i i i i n        o x y A B Mn1 Mi Mi1 M2 M1 ( , ) i i   L 1 max{ }i i n  s   设   近似

二、对弧长的曲线积分的概念 1.定义 设L为xOy面内一条光滑曲线弧，函数f(x,y) 在L上有界.用L上的点M1,M2,.,Mn把L分成n 个小段.设第i个小段的长度为△s,又(5,7：)为第 个小段上任意取定的一点， 作乘积f(5,7:)·△s, M 并作和∑f(5,n,)△s, M

二、对弧长的曲线积分的概念 1 2 1 1 , ( , ) . , , , . , ( , ) , ( , ) , ( , ) , n i i i i i i n i i i i L xoy f x y L L M M M L n i s i f s f s               设 为 面内一条光滑曲线弧 函数 在 上有界 用 上的点 把 分成 个小段 设第 个小段的长度为 又 为第 个小段上任意取定的一点 作乘积 并作和 1.定义 o x y A BMn1 Mi Mi1 M2 M1 ( , )  i i L

如果当各小弧段的长度的最大值入→0时， 这和的极限存在，则称此极限为函数f(x,y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲 线积分，记作，f(x,y),即 被积函数 ∫f ∑f(5,n)△s 积分和式 积分曲线 弧长元素 曲线形构件的质量M=」，p(x,y)

0 1 0 , , ( , ) ( , ) , ( , ) lim ( ) , , . L n i i i L i f x y L f x y ds f x y ds f s              对弧长的曲线积分或第 如果当各小弧段的长度的最大值 时 这和的极限存在 则称此极限为函数 在曲线弧 上 一类曲 线积分 记作 即 被积函数 积分曲线 积分和式 曲线形构件的质量 ( , ) . L M x y ds    弧长元素

思考： (I)若在L上f化，y)=1,问[ds表示什么？ (2)对弧长的曲线积分要求ds≥0. 2.存在条件： 当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时， 对弧长的曲线积分」f(x,)存在

2.存在条件： ( , ) , ( , ) . L f x y L f x y ds  当 在光滑曲线弧 上连续时 对弧长的曲线积分 存在 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, d ? L s 问 表示什么 (2)对弧长的曲线积分要求 ds  0

3推广 函数f(x,y》,z)在空间曲线弧Γ上对弧长的 曲线积分为fx达=mf5,6)△： i=1 注意：（①若L(或）是分段光滑的，(L=L+L) Jfx,yds-Jfxys+f.yds. (2)函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线 积分记为∮，f(x,)还. (3)由于>0故nfc,y)=∫B,f,)b

注意： 1 2 (1) ( ) , ( ) 若 L L L L 或   是分段光滑的 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) . L L L f x y ds f x y ds f x y ds      (2) ( ( , ) . , ) L f x y d L s f x y  函数 在闭曲线 上对弧长的曲线 积分记为 3.推广 0 1 ( , , ) ( , , ) lim ( , , ) . n i i i i i f x y z f x y z ds f s              函数 在空间曲线弧 上对弧长的 曲线积分为 (3) 0 ( , ) ( , ) AB BA ds f x y ds f x y ds   由于   故

4.性质 (1),[af(x,y)+Bg(x,y)lds =aJf(x.y)ds+BJg(x,y)ds. (2fx,=2fx,)+丁fc,). (L=L+L2) (3)设在L上f(x,y)≤g(x,y,则 ∫fx,J)≤(xy)ds 特别地fc,≤∫fx6

4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds           1 2 1 2 (2) ( , ) ( , ) ( , ) . ( ). L L L f x y ds f x y ds f x y ds L L L        (3) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) L L L f x y g x y f x y ds g x y ds     设在 上 则 ( , ) ( , ) L L f x y ds f x y ds  特别地  

三、对弧长曲线积分的计算 定理设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续， 的参数方程为 [x=o(t), (a≤t≤B)其中 (y=V(t), p(t),w(t)在[a,B1上具有一阶连续导数，且 ∫fx,y)k=∫fp(),w(No2()+y()t (a<β)

三、对弧长曲线积分的计算 2 2 ( , ) , ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) [ , ] , ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) L f x y L x t L t y t t t f x y ds f t t t t dt                               设 在曲线弧 上有定义且连续 的参数方程为 其中 在 上具有一阶连续导 理 数 且 定