《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章 函数与极限_第四节 无穷大与无穷小_无穷大与无穷小

第四讲无穷小与无穷大

第四讲 无穷小与无穷大

无穷小与无穷大 一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系

无穷小与无穷大 一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系

无穷小与无穷大 一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系

无穷小与无穷大 一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系

一、无穷小 (一) 无穷小的念 (二) 无穷小的性质 (三) 无穷小的比较

一、无穷小 （一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较

一、无穷小 (一)无穷小的概念 (二) 无穷小的性质 (三)无穷小的比较

一、无穷小 （一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较

>定义如果函数x)在某过程中的极限为零， 那么称函数孔x)为该过程中的无穷小， ◆例 lim sinx=0.sinx是x→0中的无穷小. x->0 lim=0 是x→∞中的无穷小. x-→0X 1im(x2-)=0.x2-1是x→1中的无穷小 lim√x=0 √是x→0中的无穷小， ●注 1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷小和一个很小的数相混淆(0除外) 无穷小：（函数的绝对值）无限变小

➢定义 如果函数f(x)在某过程中的极限为零， 那么称函数f(x)为该过程中的无穷小. ◆例 lim sin 0 0 = → x x  sin x 是 x → 0 中的无穷小. 0 1 lim = → x x x 1  是 x → 中的无穷小. lim( 1) 0 2 1 − = → x x 1 2  x − 是 x →1 中的无穷小. lim 0 0 = → + x x  x 是 → + x 0 中的无穷小. ⚫注 1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷小和一个很小的数相混淆（0除外） 无穷小：（函数的绝对值）无限变小

>无穷小与函数极限的关系 >定理：函数fx)在某过程中以A为极限的充要条件是： 函数x)可以表示为A与该过程中的无穷小之和. 即：limf(x)=A→f(x)=A+a α为同一过程中的无穷小

➢定理：函数f(x)在某过程中以A为极限的充要条件是： 即： lim f (x) = A  f (x) = A+  为同一过程中的无穷小 ➢无穷小与函数极限的关系 函数f(x)可以表示为A与该过程中的无穷小之和

一、无穷小 (一)无穷小的概念 (二) 无穷小的性质 (三)无穷小的比较

一、无穷小 （一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较

一、无穷小 (一)无穷小的概念 (二) 无穷小的性质 (三)无穷小的比较

一、无穷小 （一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较

>性质1 同一过程中的有限个无穷小之和 仍为该过程中的无穷小. >性质2某过程中的有界函数与该过程中的无穷小之积 仍为该过程中的无穷小。 >推论1常量与某过程中的无穷小之积 仍为该过程中的无穷小。 >推论2 同一过程中的有限个无穷小之积 仍为该过程中的无穷小 >推论3 某过程中的无穷小的正整数次乘幂 仍为该过程中的无穷小

➢性质1 同一过程中的有限个无穷小之和 仍为该过程中的无穷小. ➢性质2 某过程中的有界函数与该过程中的无穷小之积 仍为该过程中的无穷小. ➢推论1 常量与某过程中的无穷小之积 仍为该过程中的无穷小. ➢推论2 同一过程中的有限个无穷小之积 仍为该过程中的无穷小. ➢推论3 某过程中的无穷小的正整数次乘幂 仍为该过程中的无穷小