《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十章_10-1二重积分的概念和性质

第十章 重积分 一元岛数积分学 í重积分 多元品数积分学 曲线积分 曲面积分

第十章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重 积 分

第一节二重积分的橇念和性质 ·一、二重积分的橇念 ·二、二重积分的性质 ·三、小结练司题

第一节 二重积分的概念和性质 • 一、二重积分的概念 • 二、二重积分的性质 • 三、小结 练习题

一、二重积分的基本概念 1、引例1：曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 特点：平顶. (x,y 柱体体积=？ 特点：曲顶

柱体体积=底面积×高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. z  f (x, y) D 1、引例1：曲顶柱体的体积 一、二重积分的基本概念

求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、 求和、取极限”的方法. 设给定曲顶柱体： 底：xOy面上的闭区域D 顶：连续曲面z=f(,y)≥0 侧面：以D的边界为准线，母线平行于z轴的柱面 求其体积 下边看具体步骤：

设给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. 下边看具体步骤： 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法．

z对Z三XJ) 1)分割 f(5,7 用任意曲线网分D为n个区域 △O1,△O2,.,△Om 以它们为底把曲顶柱体 分为n个小曲顶柱体 2)近似 在每个△o,中任取一点(5,7：)， △ △'：≈f(5,7)△o;(i=1,2,.,m) 3)求和 V=∑Ay≈∑f(5,n)Aa

1)分割 用任意曲线网分D为n 个区域 1 2 , , ,       n 以它们为底把曲顶柱体 2)近似 在每个 ( , ) ( 1,2, , ) V f i n i i i i        中任取一点 分为 n 个小曲顶柱体 3)求和 D z f x y  ( , ) x z O y ( , ) i i   ( , ) i i f    i  

4)“取极限” 定义△o,的直径为 2(Ao,)=max{RE2lR,P∈△o} 令元=aAa,月 对3=f比y以 V=lim∑f5,7,)△o f(5,n,) 2-→0 i= 5,)

4)“取极限” 1 2 1 2 ( ) max{ }       i i P P P ,P 令 1 max{ ( )} i i n        0 1 lim ( , ) n i i i i V f          D z f x y  ( , ) x z O y ( , ) i i   ( , ) i i f    i  

引例2.求平面薄片的质量 设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D, 在点(x,y)处的面密度p(x,y),假定p(x,y)在D 上连续，平面薄片的质量是多少？ 将薄片分割成若干小块， (5,7) 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 M=∑p5nAa·

引例2 ．求平面薄片的质量  i  ( , ) i i   将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 0 1 lim ( , ) . n i i i i M           x y o ( , ) ( , ), ( , ) xoy D x y x y x y D   设有一平面薄片，占有 面上的闭区域 ， 在点 处的面密度 假定 在 上连续，平面薄片的质量是多少？

2、二重积分的定义 定义设函数f(x,y)是有界闭区域D上的有界 函数，将闭区域D任意分成个小闭区域Ao1,△o2, .,△on,其中△o,表示第个小闭区域，也表示它 的面积，在每个△o:上任取一点(5,7)， 作乘积f(5,7:)△o:(i=1,2,.,m), 并作和】 ∑f(5,)△o

2、二重积分的定义 1 2 1 ( , ) , , , , , ( , ), ( , ) ( 1,2, , ), ( , ) , n i i i i i i i n i i i i f x y D D n i f i n f                        设函数 是有界闭区域 上的有界 函数 将闭区域 任意分成 个小闭区域 其中 表示第 个小闭区域，也表示它 的面积，在每个 上任取一点 作乘积 并作和 定义

如果每个小闭区域的直径中的最大值趋于零时， 这个和式的极限存在，则此极限为函数f(x,y)在 闭区域D上的二重积分，记作∬f(x,y)Mo 即 积分区域 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 积分和

积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) lim ( , ) D n i i i D i f x y D f x y d f x y d f               二 重 如 果 每个 小 闭 区 域 的 直径 中 的 最 大值 趋于 零 时， 这个和式的极限存在，则此极限为函数 在 闭区域 上的 ，记作 即 积分

对二重积分定义的说明： ()在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的， 点的取法也是任意的. (2)当fxy)在闭区域上连续时，定义中和式的极限必 存在，即二重积分必存在. 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积， 当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体积 的负值. 总之，二重积分表示曲顶柱体的体积的代数和

对二重积分定义的说明： 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体积 的负值． 总之，二重积分表示曲顶柱体的体积的代数和． (1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的， 点的取法也是任意的. (2)当f(x,y)在闭区域上连续时，定义中和式的极限必 存在，即二重积分必存在