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“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材 高等数学 第七版下册 同济大学数学系编 高等教育出服社

谷 “十二五”普通高等教 高等数学 第七版下册 同济大学数学系编 GAODENG SHUXUE 高等教育出版社·北京

坚持改革、不断锤炼、打造精品”的要求，对带八似

目 录 第八章向量代数与空间解析几何. .1 第一节向量及其线性运算. .1 一、向量的概念(1)二、向量的线性运算(2)三，空间直角坐标系(6) 四、利用坐标作向量的线性运算(8)五、向量的模、方向角、投影(9) 习题8-1(13) 第二节数量积向量积·混合积. .14 一、两向量的数量积(14)二、两向量的向量积(17)·三、向量的混合 积(20)习题8-2(23) 第三节平面及其方程. .23 一，曲面方程与空间曲线方程的概念(23)二、平面的点法式方程(24) 三、平面的一般方程(26)四、两平面的夹角(27)习题8-3(29) 第四节空间直线及其方程. .30 一，空间直线的一般方程(30)二、空间直线的对称式方程与参数方 程(30)三、两直线的夹角(32)四、直线与平面的夹角(33) 五、杂例(33)习题8-4(36) 第五节曲面及其方程.37 一、曲面研究的基本问题(37)二、旋转曲面(38)三、柱面(40) 四、二次曲面(41)习题8-5(44) 第六节空间曲线及其方程.45 一、空间曲线的一般方程(45)二、空间曲线的参数方程(46)三、空 间曲线在坐标面上的投影(49)习题8-6(51) 总习题八. 44404.44.4040444.000000*4t0t51 第九章多元函数微分法及其应用.5纠 第一节多元函数的基本概念. .54 一、平面点集·n维空间(54)二、多元函数的概念(57)三、多元函数的 极限(60)四、多元函数的连续性(62)习题9-1(64) 第二节偏导数.65 一，偏导数的定义及其计算法(65)二、高阶偏导数(69)习题9-2(71) 第三节全微分. .72 一，全微分的定义(72)·二、全微分在近似计算中的应用(75) 习题9-3(77) ·1

目录 第四节多元复合函数的求导法则 .78 习题9-4(84) 第五节隐函数的求导公式. 86 ,、一个方程的情形(86)二、方程组的情形(88)习题9-5(91) 第六节多元函数微分学的几何应用. 年含年车多 .92 ,一元向量值函数及其导数(92)二、空间曲线的切线与法平面(96) 三、曲面的切平面与法线(100)习题9-6(102) 第七节方向导数与梯度. .103 一、方向导数(103)二、梯度(106)习题9-7(111) 第八节多元函数的极值及其求法.11 、多元函数的极值及最大值与最小值(11)二、条件极值拉格朗 日乘数法(116)习题9-8(121) ”第九节二元函数的泰勒公式.122 二元函数的泰勒公式(122】 二、极值充分条件的证明(125)】 ·习题9-9(127) 第十节最小二乘法。 .127 ·习题9-10(132) 总习题九 132 第十章重积分 .135 第一节二重积分的概念与性质. .135 、二重积分的概念(135)二、二重积分的性质(138)习题10-1(139) 第二节二重积分的计算法.140 利用直角坐标计算二重积分(141)二、利用极坐标计算二重 积分(147) ·三、二重积分的换元法(152)习题10-2(156) 第三节三重积分. .160 ,三重积分的概念(160)二、三重积分的计算(161)习题10-3(166) 第四节重积分的应用 .168 一、曲面的面积(168)二、质心(172)三、转动惯量(174) 四、引力(176)习题10-4(177) 第五节含参变量的积分.179 ·习题10-5(184) 总习题十. .185 第十一章曲线积分与曲面积分.188 第一节对弧长的曲线积分 一、对弧长的曲线积分的概念与性质(188)二、对弧长的曲线积分 的计算法(190)习题11-1(193)

目录 第二节对坐标的曲线积分. .194 、对坐标的曲线积分的概念与性质(194)二、对坐标的曲线积分 的计算法(197)三、两类曲线积分之间的联系(202)习题11-2(203) 第三节格林公式及其应用. .204 一、格林公式(204)二、平面上曲线积分与路径无关的条件(208) 三、二元函数的全微分求积(211)·四、曲线积分的基本定理(215) 习题11-3(216) 第四节对面积的曲面积分. .218 一、对面积的曲面积分的概念与性质(218)二、对面积的曲面积分 的计算法(219)习题11-4(222) 第五节对坐标的曲面积分.223 一、对坐标的曲面积分的概念与性质(223)二、对坐标的曲面积分 的计算法(227)三、两类曲面积分之间的联系(229)习题11-5(231) 第六节高斯公式通量与散度. .232 一、高斯公式(232)·二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件(236) 、通量与散度(237)习题11-6(239) 第七节斯托克斯公式·环流量与旋度.240 、斯托克斯公式(240)·二、空间曲线积分与路径无关的条件(244) 三、环流量与旋度(246)习题11-7(248) 总习题十一 .249 第十二章无穷级数. .251 第一节常数项级数的概念和性质.25 、常数项级数的概念(251)二、收敛级数的基本性质(254) 三、柯西审敛原理(257)习题12-1(258) 第二节常数项级数的审敛法 .259 一、正项级数及其审敛法(259)二、交错级数及其审敛法(265) 三，绝对收敛与条件收敛(266)·四、绝对收敛级数的性质(268 习题12-2(271) 第三节幂级数 .272 ,函数项级数的概念(272) 二、幂级数及其收敛性(273)三、幂 级数的运算(278)习题12-3(281) 第四节函数展开成幂级数.。 44.282 习题12-4(289) 第五节函数的幂级数展开式的应用.290 、近似计算(290) 二、微分方程的幂级数解法(294)三、欧拉公式(297) 习题12-5(298)

目录 ”第六节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质.299 一、函数项级数的一致收敛性(299)二、一致收敛级数的基本 性质(303) ·习题12-6(307) 第七节傅里叶级数. .307 一、三角级数三角函数系的正交性(308)二、函数展开成傅里 叶级数(310)三、正弦级数和余弦级数(315)习题12-7(320) 第八节一般周期函数的傅里叶级数. .321 一、周期为21的周期函数的傅里叶级数(321)·二、傅里叶级数的 复数形式(325)习题12-8(327) 总习题十二.327 习题答案与提示.330 ·N

第八章向量代数与空间解析几何 在平面解析几何中，通过坐标法把平面上的点与一对有次序的数对应起来 把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题.空间解 析几何也是按照类似的方法建立起来的. 正像平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样，空间 解析几何的知识对学习多元函数微积分也是必要的. 本章先引进向量的概念，根据向量的线性运算建立空间坐标系，然后利用坐 标讨论向量的运算，并介绍空间解析几何的有关内容 第一节向量及其线性运算 一、向量的概念 客观世界中有这样一类量，它们既有大小，又有方向，例如位移、速度、加速 度、力、力矩等等，这一类量叫做向量（或矢量）. 在数学上，常用一条有方向的线段，即有向线段来表示向 量.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向 量的方向.以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记 作AB(图8-1).有时也用一个黑体字母（书写时，在字母上面 图8-1 加箭头)来表示向量，例如ar、F或a、了、元、F等 在实际问题中，有些向量与其起点有关（例如质点运动的速度与该质点的位 置有关，一个力与该力的作用点的位置有关)，有些向量与其起点无关.由于一切 向量的共性是它们都有大小和方向，因此在数学上我们只研究与起点无关的向 量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而 不论它的起点在什么地方.当遇到与起点有关的向量时，可在一般原则下作特别 处理. 由于我们只讨论自由向量，所以如果两个向量a和b的大小相等，且方向相 同，我们就说向量a和b是相等的，记作a=b.这就是说，经过平行移动后能完 全重合的向量是相等的. 向量的大小叫做向量的模.向量AB,a和a的模依次记作IA、Ia和a 。1

第八章向量代数与空间解析几何 模等于1的向量叫做单位向其.模等于零的向量叫做零向量，记作0或(.零向 量的起点和终点重合，它的方向可以看做是任意的. 设有两个非零向量a,b,任取空间一点0，作0A=a,0B=b,规定不超过m 的∠AOB(设p=∠A0B,0≤P≤π)称为向量a与b的 B 夹角（图8-2），记作(a,b)或(b,a),即(a,b)=p.如 果向量a与b中有一个是零向量，规定它们的夹角可 以在0到π之间任意取值. a 如果(a,b)=0或m,就称向量a与b平行，记作 图8-2 a∥b.如果(a,b)=及，就称向量a与b垂直，记作a1b.由于零向量与另一向量 的夹角可以在0到π之间任意取值，因此可以认为零向量与任何向量都平行，也 可以认为零向量与任何向量都垂直. 当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在一条直 线上.因此，两向量平行，又称两向量共线， 类似还有向量共面的概念.设有k(k≥3)个向量，当把它们的起点放在同一 点时，如果k个终点和公共起点在一个平面上，就称这k个向量共面 二、向量的线性运算 1.向量的加减法 向量的加法运算规定如下： 设有两个向量a与b,任取一点A,作AB=a,再以B为起点，作BC=b,连接 AC(图8-3)，那么向量AC=c称为向量a与b的 和，记作a+b,即 c =a+b. 上述作出两向量之和的方法叫做向量相加的三 角形法则。 图8-3 力学上有求合力的平行四边形法则，仿此，我们 也有向量相加的平行四边形法则.这就是：当向量a与b不平行时，作A店=a AD=b,以AB、AD为边作一平行四边形ABCD,连接对角线AC(图8-4)，显然 向量AC即等于向量a与b的和a+b. 向量的加法符合下列运算规律： ·2

第一节向量及其线性运算 (1)交换律a+b=b+a: (2)结合律(a+b)+c=a+(b+c). 这是因为，按向量加法的规定（三角形法则），从图8-4可见： a+b=AB+BC=AC=c, b+a=AD+D元=AC=c, 所以符合交换律.又如图8-5所示，先作a+b再加上c,即得和(a+b)+c,若 以a与b+c相加，则得同一结果，所以符合结合律. 图8-4 图8-5 由于向量的加法符合交换律与结合律，故n个向量a,a,.,a,(n≥3)相加 可写成 a,+a3+.+a。, 并按向量相加的三角形法则，可得n个向量相加的法则如 下：以前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作向量 a,a2,.,a。,再以第一个向量的起点为起点，最后一个向 量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求的和.如图 8-6,有 s=a,+a2+a,+a4+a5 设a为一向量，与a的模相同而方向相反的向量叫做 图1 a的负向量，记作-a.由此，我们规定两个向量b与a的差 b-a=b+(-a). 即把向量-a加到向量b上，便得b与a的差b-a(图8-7(a) 图8-7 。2