《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章_12.1常数项级数的概念和性质

第十二章 无穷级数 「数须级数 无穷级数{幂级数 付氏级数 表示高数 无穷级数是研完岛教的工具{ 研完性质 数值计算

无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 数项级数 幂级数 付氏级数 第十二章

第一节常数项级数的橇念和性质 ·一、常数项级数的梳念 ·二、无穷级教的基本性质 ·三、小结练习题

第一节 常数项级数的概念和性质 • 一、常数项级数的概念 • 二、无穷级数的基本性质 • 三、小结 练习题

一、常数项级数的概念 引例用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正3×2”(n=0,1,2,)边形，设a表示 内接正三角形面积，k表示边数 增加时增加的面积，则圆内接正 3×2”边形面积为 4o+41+02+.+0 n→oo时，这个和逼近于圆的面积A. 即 A=4,+a,+a2+.+an+

一、常数项级数的概念 引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 边形, 这个和逼近于圆的面积 A . 设 a0 表示 即 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正

定义 给定一个数列41,42,43，.，n,.将各项依 00 次相加，简记为 ∑g=4+%+西，十++. n= 称上式为无穷级数，其中第n项wn叫做级数的一般项， 级数的前n项和 5n=∑4=4，+4，+4+.+， k=1 称为级数的部分和.若imsn=s存在，则称无穷级数 1n-→o0 收敛，并称s为级数的和，记作

给定一个数列 1 2 3 , , , , , n u u u u 将各项依 1 , n n u    即 称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为 收敛 , 则称无穷级数 并称 s 为级数的和, 记作 定义

若imsn不存在，则称无穷级数发散. 11->co 当级数收敛时，称差值 Tn=S-Sn=儿n+l+Ln+2+. 为级数的余项.显然limr=0 0 并且有 ∑，=lims n-→o n=1 0 4，=lim∑ n=1 1n→o0 k=1

当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 则称无穷级数发散 . 显然

例1讨论等比级数（几何级数） 0 ∑ag”=n+g+ag2+.+ag+.(a≠0) n= 的收敛性 解如果q≠1时 5n=a+aq+ag2+.+ag"- a-ag”=a-a4 1-4 1-91-9

例 1 讨论等比级数(几何级数)         n n n aq a aq aq aq 2 0 (a  0) 的收敛性. 解 如果q  1时 2 1      n n s a a q a q  a q q a aqn    1 , 1 1 q aq q a n    

当q1时，：limq"=o.lim5n=o 发散 11->00 n→0 如果q=1时 当q=1时，Sn=na-→o 发散 当q=-1时，级数变为a-a+a-a+. .imsn不存在 发散 0 当|☑<1时，收敛 综上立a叫{当q2l时，发散 n=0

当 q  1 , 时 lim 0 n n q    lim 1 n n a s   q    当 q  1 , 时 lim n n q     lim n n s      收敛 发散 如果 q  1时 当q  1 , 时 当q  1 , 时 n s na    发散 级 数 变 为 a a a a     lim n n s    不存在 发散 0 1 , 1 , n n q aq q          当 时 收敛 综上 当 时 发散

例2判断2n+的敛散性. 0 n=1 解：S.=n2+n3+nt+n+ 3.4 3 =0d2n3-m2)+(a(a+1-An） =ln(n+1)→o(n→oo) 所以级数发散； 利用“拆项相消” 求和

解: 2 3 4 1 ln ln ln ln 1 2 3 n n S n               (ln 2 ln 1) (ln 3 ln 2) ln( 1) ln  n n   ln( 1) n     ( n ） 所以级数 发散 ; 利用 “拆项相消” 求和

例3判别无穷级数 1,1 1 十.十 +.的收敛性， 1.33.5(2n-1)(2n+1) 1 =11 解：&，=2n-12m+)-22n-12n+ i.Sn= 11 1 13+35+ (2n-1)(2n+1) -3+3*+12a

例 3 判别无穷级数           (2 1) (2 1) 1 3 5 1 1 3 1 n n 的收敛性. 解 (2 1)(2 1) 1    n n  un ), 2 1 1 2 1 1 ( 2 1     n n (2 1) (2 1) 1 3 5 1 1 3 1           n n sn  ) 2 1 1 2 1 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 (1 2 1          n n 

-n+ lims =lim- h-→co n-→02 2n+7} 1 级数收敛，和为2

) 2 1 1 (1 2 1 lim lim       n s n n n ), 2 1 1 (1 2 1    n , 2 1  . 2 1  级数收敛, 和 为