《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章_12.4函数展开成幂级数

第四节品数展开成幂级数 ·一、泰动级教 ·二、离数展开成幂级数 ●三、小结练习题

第四节 函数展开成幂级数 • 一、泰勒级数 • 二、函数展开成幂级数 • 三、小结 练习题

一、泰勒(Taylor)级数 上节例超2-1=n1+)(~1<x51) n=] n ●0 fx)=∑an(x-x)” 存在幂级数在其收敛 域内以fx)为和函数 n=0 问题：1.在什么条件下才能展开成幂级数？ 2.如果能展开，4m是什么？ 3.展开式是否唯一？

一、泰勒( Taylor )级数 上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1           x x n x n n n n n n f ( x) a ( x x ) 0 0      存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 2.如果能展开, an 是什么? 3.展开式是否唯一? 1.在什么条件下才能展开成幂级数?

若函数f(x)在。的某邻域内具有n+1阶导数，则在 该邻域内有： f=+f-+(x- 2! +.+(x-x”+R,( n! 此式称为f(x)的n阶泰勒公式其中 R,()=f+"5) (n+1): x-x)1 (专在x与x之间) 称为拉格朗日余项

0 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! ( ) ( ) ( ) ! n n n f x f x f x f x x x x x f x x x R x n            其中 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f R x x x n       (  在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 该邻域内有 :

若函数f(x)在x的某邻域内具有任意阶导数，则称 f+f-)+f-x 2: ++fx-x+ n! -2X- x∈U(x) 为fx)在xo点的泰勒级数，或泰勒展开式. 尚待解决的问题： 1)对此级数，它的收敛域是什么？ 2)在收敛域上，和函数是否为fx)?

为f (x) 在x0点的泰勒级数，或泰勒展开式 . 则称 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 0 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! ( ) ( ) ! 1 ( )( ) ( ) ! n n n n n f x f x f x x x x x f x x x n f x x x x U x n                 尚待解决的问题 :

,x≠0 x=0 在x=0点任意可导，且f(0)=0(n=0,1,2,.） f(x)的麦氏级数为∑0·x” n=0 该级数在(-0，+0)内和函数s(x)三0.可见 除x=0外，f(x)的麦氏级数处处不收敛于f(x)

        0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例 如 (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n)  n        0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在( , )内和函数 s( x)  0. 可见 除 x  0 外, f ( x)的麦氏级数处处不收敛于 f ( x) . 在x=0点任意可导

定理1设函数f(x)在x的某一邻域U(x)内具有各阶 导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是f(x)的泰勒公式的余项满足：limR,(x)=0. 1-→c0 正明：)-=立fr-尸，te n=0 n! a阳-含- k! f(x)=p,(x)+R,(x) imR(x)=imLf(x)-p(x]0() 10

证明: ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , ( ) ! n n n f x f x x x x U x n       ( ) ( ) ( ) n n f x p x R x   lim ( ) lim ( ) ( ) n n n n R x f x p x           0   0 , ( ) x U x ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! n k k n k f x p x x x  k 令    0 0 ( ) ( ) ( 1 lim ) 0 ) ( ) ( . n n f x x U x f x R x x f    设函数 在 的某一邻域 内具有各阶 导数，则 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 的泰勒公式的余项满足： 定理

当x=0时，泰勒级数又称为麦克劳林级数. f)=f0+f0x+f0x++f0x+. 2! n! -2品/产0rs

当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . ( ) 2 ( ) 0 0 (0) (0) ( ) (0) (0) 2! ! 1 (0) ( ) ! n n n n n f f f x f f x x x n f x x U x n             

二、函数展开成幂级数 直接展开法一利用泰勒公式 展开方法 间接展开法一 利用已知其级数展开式 的函数展开 1.直接展开法 由泰勒级数理论可知，函数x)展开幂级数的步骤 如下： 第一步求函数f(x)的各阶导数f'(x),f"(x).,fm(),., 如果在x=0处某导数不存在，就停止进行， 第二步求出函数及各阶导数在x=0的值 f'(0),f"(0),f"(0).,f0(0)

( ) ( ) ( ), ( ) , ( ), 0 n f x f x f x f n x    第一步 求函数 的各阶导数 ， 如果在 处某导数不存在，就停止进行. ( ) 0 (0), (0), (0), , (0), n x f f f f     第二步 求出函数及各阶导数在 的值 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 函数f(x)展开幂级数的步骤 如下： 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 二、函数展开成幂级数

第三步写出幂级数 f+f0x+0+.+0x+, 2! n! 并求出收敛半径 第四步利用余项R,(x)的表达式R(d)= ((x) (0<0<1),考察当x在区间(-R,R)内时余项R(x)的极限是否为 零，如果为零，则函数f(x)在区间(-R,R)内的幂级数展开式为 0+f0c+0r++f0r+ (-R<x<R), 2！ n！

( ) 2 (0) (0) (0) (0) , 2! ! n n f f f f x x x n        第三步 写出幂级数 并求出收敛半径. ( 1) 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( 1)! (0 1) ( , ) ( ) ( ) ( , ) (0) (0) (0) (0) ( ) , 2! ! n n n n n n n R x R x f x x n x R R R x f x R R f f f f x x x R x R n                     第四步 利用余项 的表达式 ,考察当 在区间 内时余项 的极限是否为 零，如果为零，则函数 在区间 内的幂级数展开式为

例1将f(x)=e展开成x的幂级数. 解m(x)=e,f(0)=1(n=0,1,2,.)故得级数 2 1+x+ 2: n! 其收敛半径为 R=lim元=+oo n-→co 、1 (n+1)月 对任何有限数x,其余项满足 n-→0→0 (n+1)! (5在0与x之间) 故e"=1+x+。x 2 xt.+x0+xeoo,+0 3!

其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 故 1 1 1 2 3 1 , ( , ) 2! 3! ! x n e x x x x x n           1 ! 1 ( 1)! lim n n n R       ( 在0与x 之间) 解 故得级数 1 ( ) . x 例 将 f x e x  展 开 成 的 幂 级 数 ( ) , (n) x f x  e ( ) (0) 1 ( 0,1, 2, ) n f n   1 1 2 1 2! ! n x x x n     