《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章_9.7方向导数与梯度

第七节 方向导数与梯废 一方向导教的定义 梯度的橇念 三小结

第七节 方向导数与梯度 一 方向导数的定义 二 梯度的概念 三 小结

一、方向导数的定义 讨论函数z=f(x,y)在一点P沿某一方向 的变化率问题. 设函数z=f(化，y)在点 P(x,y)的某一邻域U(P) 1 内有定义，自点P引射线. 设x轴正向到射线1的转角 △x 为p,并设P(x+△x,y+△y) 为I上的另一点且P∈U(P): (如图)

讨论函数 在一点P沿某一方向 的变化率问题． z  f (x, y) 一、方向导数的定义 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( ) z f x y P x y U P P l 设函数  在点 的某一邻域 内有定义，自点 引射线 ． 0 0 0 , ( , ) ( ). x l P x x y y l P U P       设 轴正向到射线 的转角 为 并设 为 上的另一点且 （如图） o y x  l  P x y  P0

设e,=(cosa必，sinB)是与同方向的单位向量，则的参数方程为 x=xo+icosa y=yo+tcos B 点P的坐标可以表示为(x,+tcosa,y+tsin B) 现在考虑x,+tcosa,+tc0sB)-fx,) t 当PP→0时，即t→0+时， f(x+tcos,+tcosB))-f(xoyn的极限

(cos ,sin ) l 设e l l    是与 同方向的单位向量，则 的参数方程为 0 0 cos 0 cos x x t t y y t           0 当 P P  0时， 0 0 0 0 f x t y t f x y ( cos , cos ) ( , ) t      现在考虑 0 0 点P x t y t 的坐标可以表示为( cos , sin )     0 0 0 0 f x t y t f x y ( cos , cos ) ( , ) t      的极限 t 0 即   时

定义函数的增量f(x。+tcosa,y+tcosB)-f(xo,y) 与PP两点间的距离t之比值，当P沿着1趋于P,时， 如果此比值的极限存在，则称这极限为函数在点P沿 方向1的方向导数. 记为f lim f(xo+tcosa,yo+tcosB)-f(xoVo) ∂L (x0,J0) t→0t 依定义，若函数f(x,y)在点P的偏导数∫x,∫，都存在， 则f(x,y)沿着x轴正向E1={1,0}、y轴正向e2={0,1}的 方向导数分别为∫x,∫，；沿着x轴负向、y轴负向的方向 导数是一f,f

0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( cos , cos ) ( , ) lim . t x y f f x t y t f x y l t           依定义，若函数 f (x, y)在 点P的偏导数 x y f , f 都存在， 则 f ( x, y)沿着x轴正向 {1,0} e1   、y轴正向 {0,1} e2   的 方向导数分别为 x y f , f ；沿着 x轴负向、 y轴负向的方向 导数是 x y  f , f . 0 0 0 0 0 0 0 f x t y t f x y ( cos , cos ) ( , ) P P t P l P P l 函数的增量 与 两点间的距离 之比值，当 沿着 趋于 时， 如果此比值的极限存在，则称这极限为函数在点 沿 方 定义 向 的方向导数．      记为

但是反之，方向导数存在，偏导数不一定存在 例如z=Vx2+在(0,0)点沿1=访向的方向导数 =1, o.0) 而偏导数不存在. 定理若函数f(x,y)在点P(x,y)处可微分，那么 函数在该点沿任一方向的方向导数存在，且有 of =f(xo,Yo)cosa+f(xo,Yo)cosB (o) 其中c0s,cosB是方向的方向余弦

但是反之，方向导数存在，偏导数不一定存在. 2 2 (0,0) (0,0) 1 z z x y l i l 例如 = 在 点沿 方向的方向导数 = ， 而偏导数不存在.    0 0 000 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) , ( , )cos ( , )cos cos ,cos . x y x y f x y P x y l f f x y f x y l l 若函数 在点 处可微分 那么 函数在该点沿任一方向 的方向导数存在， 定理 且有 其中 是方向 的方向余弦       

证明 由于函数可微，则增量可表示为 f(xo+Ax,yo+Ay)-f(xo,Yo)=f(xo,Yo)Ax+f,(xo,Yo)Ay+o(p) 其中p=V(△x)2+(4y),由于点(x+△x,+△y)在上，所以有 △x=tc0sa,△y=tcos B,故 f(xo+tcosa,yo+tcos B)-f(xo,yo) t =f(%o+Ax,yo+Ay)-f(xo,yo) p

0 0 0 0 f x t y t f x y ( cos , cos ) ( , ) t      证明 由于函数可微，则增量可表示为 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) x y f x x y y f x y f x y x f x y y o            2 2 其中     ( ) ( ) , x y 0 0 由于点( , ) x x y y l     在 上，所以有     x t y t cos , cos ,   故 0 0 0 0 f x x y y f x y ( , ) ( , )       

=fx+Ax,+Ay)-fx） △x f(xo,Yo) +f,() Ay (p) coSQ cos B 所以 O lim f(xo+tcosa,Yo+tcosB)-f(xo2yo) t-→0* t =f(o,yo)cosa+f(xo2Vo)cos B

cos cos 0 0 0 0 f x x y y f x y ( , ) ( , )        0 0 0 0 ( ) ( , ) ( , ) x y x y o f x y f x y           0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( cos , cos ) ( , ) lim t x y f f x t y t f x y l t           所以 0 0 0 0 ( , )cos ( , )cos x y   f x y f x y  

例1求函数z=xe2y在点P(1,0)处沿从点P(1,0) 到点Q(2,-1)的方向的方向导数 解这里方向卿为PQ={1,-1} 故x轴到方向的转角φ=- 4 Ox -ev-1 Oz 0xa,0) 0y1,0) -2.xe2 所求方向导数 背m-草+2m-孕-号

例 1 求函数 y z xe 2  在点P(1,0)处沿从点P(1,0) 到点Q(2,1)的方向的方向导数. 解 故x轴到方向l  的转角 4     . 1; (1,0) 2 (1,0)     y e x z  2 2, (1,0) 2 (1,0)     y xe y z 所求方向导数 ) 4 ) 2sin( 4 cos(         l z . 2 2   这里方向l PQ 即为   {1, 1}

例2求函数fx,y)=x2-y+y2在点(1,1) 沿与x轴方向夹角为α的方向射线的方向导数.并 问在怎样的方向上此方向导数有 (1)最大值；(2)最小值； (3)等于零？ 解由方向导数的计算公式知 ar =f (1,1)cosa+f,(1,1)sina ala.D =(2x-y)cosa+(2y-x)sina

例 2 求函数 2 2 f (x, y)  x  xy  y 在点（1，1） 沿与x轴方向夹角为 的方向射线l  的方向导数.并 问在怎样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？ 解 (1,1)cos (1,1)sin (1,1) x y f f l f     由方向导数的计算公式知 (2 ) cos (2 ) sin , (1,1) (1,1)  x  y   y  x 

cos a+sin o =Zsin(+经 故 (1) 当a=亚时， 方向导数达到最大值√2； 4 (2)当0=4 π时，方向导数达到最小值-v2; (3)当0= =7π时，方向导数等于0. 3沉和0=4

 cos  sin ), 4 2 sin(     故 （1）当 4    时， 方向导数达到最大值 2; （2）当 4 5   时， 方向导数达到最小值 2 ; （3）当 4 3   和 4 7   时， 方向导数等于 0