《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 向量代数与空间解析几何_8-1 向量及其线性运算

第八章 空间解析儿何与向量代数 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 空间形式一点，线，面 T 数量关系 坐标，方程（组） 基本方法一坐标法，向量法

数量关系 — 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 空间形式 — 点, 线, 面 基本方法 — 坐标法, 向量法 坐标, 方程（组） 空间解析几何与向量代数

第八章 第一节 句量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影

四、利用坐标作向量的线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 第八章

、向量的概念 向量：既有大小，又有方向的量称为向量（又称矢量） 表示法：有向线段MM,或a,或a 向量的模： 向量的大小，记作M2,或a,或a 向径（矢径）：起点为原点的向量 自由向量：与起点无关的向量 单位向量：模为1的向量，记作a°或a° 零向量：模为0的向量，记作0，或0

表示法: 或a . 向量的模 : 向量的大小, , 记作 M1M2 向量: (又称矢量). M1 M2 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量. 起点为原点的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, .   记作 a 或a 零向量: 模为 0 的向量, 记作 0，或 0 .  有向线段 M1 M2 , 或 a , 或 a ,或 a

若向量ā与b大小相等，方向相同，则称a与b相等 记作a=b, 向量ā与五方向相同或相反，则称a与平行，记作 a∥b,规定：零向量与任何向量平行； 与ā的模相同，但方向相反的向量称为ā的负向量 记作一a; 因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称 两向量共线 若k仑3)个向量经平移可移到同一平面上，则称此飞 个向量共面

规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作－a ;

二、向量的线性运算 1.向量的加法 平行四边形法则： (@+B)+c a+(B+c) d+6 三角形法则： a+b 运算规律：交换律 a+b-b+a 结合律(a+b)+c=a+(b+=a+b+c

1. 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 b b a  b  b  a ( a  b)  c  a  (b  c )  a  b  c a b c a  b b  c a  (b  c ) ( a  b)  c a a a  b a  b

三角形法则可推广到多个向量相加 S-a+a2 +as+asas

s 3 a 4 a 5 a 2 a 1a 1 2 3 4 5 s  a  a  a  a  a 三角形法则可推广到多个向量相加

2.向量的减法 b-a-b+(-@) b-a 三角不等式 a+bs a+B a-b s a+b

三角不等式 b  a  b  (a ) a  b  a  b b  a a b b  a  a a  b  a  b

3.向量与数的乘法 久是一个数，入与a的乘积是一个新向量，记作2ā. 规定：2>0时，元a与a同向，入a=2a: 2<0时，元a与a反向，2a=-2ag 2=0时，2a=0 注 1.a与a平行 2.a=2a 运算律：结合律2(u)=u(2)=2ua 分配律 (2+a=入a+ud

2. a a       是一个数 , a .   规定 :   0时， a与a同向，      0时,   0时, 0 .    a  a a ;      a a ;       与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a与a 反向，    注: 运算律 : 结合律 ( a)    ( a)     a     分配律 a  ( ) a a       a与 a平行   1. 

若a≠0， a-aa 因此，单位向量 °= a. 定理1.设d为非零向量，则 a∥b =方=2a ()为唯一实数)

设 a 为非零向量 , 则 ( 为唯一实数) a∥b b   a 0,   若a . 1 a a  因此，单位向量     a  a a a  

例1.设M为□ABCD对角线的交点，AB=a,AD=b 试用a与b表示MA,MB,MC,MD 解： a+b=AC b-a=BD M☑=-a+万)MB=-6-a) Mc=(a+bM远=（⑦-a)

例1. 设 M 为 M A B D C 解: ABCD 对角线的交点, b a AB  a, AD  b, AC BD 试用a 与b 表示 MA,MB,MC,MD. a  b  b  a  ( ) 2 1  MA   a  b ( ) 2 1 MB   b  a ( ) 2 1 MC  a  b ( ) 2 1 MD  b  a