《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章多元函数微分法及其应用_9-7 方向导数与梯度

第七节 第八章 方向导数写梯煮 一、 方向导数 二、 梯度 三、物理意义 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第八章 第七节 一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 三、物理意义 方向导数与梯度

一、方向导数 定义：若函数f(x1.在点P(x,1.二)处 沿方向1方向角为☑，B.)存在下列极限 A P(x.=） 》-→0 lim /(r+△1+.+⊥)-f(.1X.)记作0/ 3→0 p 1 p=V(△N)+(△)+（△） Ax=pcosa.Ar=pcos B:A==pcos; 则称 为函数在点P处沿方向1的方向导数 HIGH EDUCATION PRESS D0C08 机动目录上页下页返回结束

一、方向导数 定义: 若函数 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. 在点 处 沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作

定理：若函数f(x.)在点P(x,)处可微 则函数在该点沿任意方向1的方向导数存在，且有 ef _Efcosa+ c1 ex 其中☑，B.为1的方向自 证明由函数f(x,)在点P可微，得 P(x.1.=〉 C T =0 0cosy+o(P列 故 1im cosa+ el 2→0D HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 证明: 由函数 且有 在点 P 可微 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故

对于二元函数f(xy).在点P(x.y处沿方向1（方向角 为a,B)的方向导数为 =1imr+△y+△-/x2 el 2→0 P f(x.r)cosa+f(x.r)cosB (p=/(△ry2+(A)2.△r=pcos,△=peos B) 特别： ·当1与x轴同向=0乃=)时有 ·当1与x轴反向(a=x乃=时有 el HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数 为,  ) 的方向导数为 特别: • 当 l 与 x 轴同向 • 当 l 与 x 轴反向 向角

例1.求函数=x2:在点P1,1,1)沿向量7=(2.-1 3)的方向导数 解：向量1的方向余弦为 2 -1 3 C0SC☑= 14 14 14 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向导数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 向量 l 的方向余弦为

例2.求函数：=3x2y-1在点P(2,3)沿曲线y=x2-1 朝x增大方向的方向导数 解：将已知曲线用参数方程表示为 1=Y 它在点P的切向量为(1.2x)x-2=(1.4) 2 4 cs月= 60 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线 朝 x 增大方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 它在点 P 的切向量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3设元是曲面2x2+32+:=6在点P(1,1,1处 指向外侧的法向量，求函数1= 在点P处沿 方向的方向导数 解：7=(4x.61.2)p=2(2.3.1 3 方向余弦为cosd= 1可 /14 6r 6 而 ex P 62+81 同理得 Cu 8 eu =-/1 eu 月6x2-8x3-14x1 11 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 设 是曲面 在点 P(1, 1, 1 )处 指向外侧的法向量, 解: 方向余弦为 而 同理得 方向 的方向导数. 求函数 在点P 处沿 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、梯度 ef ef 方向导数公式 cl ex 令向量G= efef el 79=(eosa,c0sB.cos7刀 E-G70=GeostG.7)(7=1) al 当70与G方向一 致时.方向导数取最大值： max 这说明 方向：f变化率最大的方向 模：f的最大变化率之值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、梯度 方向导数公式 令向量 这说明 方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值 方向导数取最大值： 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1.定义 向量G称为函数f(P)在点P处的梯度(gradient), 记作erad f,即 ef ef =+17- 同样可定义二元函数f(x.1)在点P(x.1)处的梯度 说明：函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 2.梯度的几何意义 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结

1. 定义 即 同样可定义二元函数 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 记作 (gradient), 在点 处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 向量 2. 梯度的几何意义

对函数=f(x.).曲线 =f)在om面上的投 :=C 影L:(x,y)=C称为函数f的等值线 设ff不同时为零.则L上点P处的法向量为 ()p=gradfp 同样，对应函数1=f.) 有等值面等量面)f(x.1.)=C 当各偏导数不同时为零时，其上 点P处的法向量为grad p· (设G1<c<c 函数在一点的梯度垂直于该点等值面（或等值线）， 指向函数增大的方向 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为函数 f 的等值线 . 则L *上点P 处的法向量为 同样, 对应函数 有等值面(等量面) 当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为 指向函数增大的方向