《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章_8.3平面及其方程

第三节平面及其方程 ·一、曲面方程和曲线方程的橇念 ·二、平面的点法式方程 ·三、车面的一般方程 ·四、两平面的夹角 。五、小结

第三节 平面及其方程 • 一、曲面方程和曲线方程的概念 • 二、平面的点法式方程 • 三、平面的一般方程 • 四、两平面的夹角 • 五、小结

一、曲面方程与曲线方程的概念 曲面的实例：水桶的表面、台灯的罩子面等. 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹. 曲面方程的定义： 如果曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有下述关系： (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程； (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F(x,y,z)=0就叫做曲面S 的方程，而曲面S就叫做方程的图形

水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义： 如果曲面S 与三元方程F( x, y,z)  0有下述关系： （1） 曲 面S上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F( x, y,z)  0就叫做曲面S 的方程，而曲面S就叫做方程的图形． 曲面的实例： 一、曲面方程与曲线方程的概念

空间曲线C可看作空间两曲面的交线， F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 空间曲线的一般方程 特点：曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程

     ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程. x o z y S1 S2 C 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 特点：

二、平面的点法式方程 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量. 法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量 已知i={A,B,C},M(xo,y,), 设平面上的任一点为M(x,y,z) 必有MnM⊥i→M,M,n=0

x y z o M0 M 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量． 法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量． 已知 n  { A, B, C } ,  ( , , ), 0 0 0 0 M x y z 设平面上的任一点为 M ( x , y , z) M M n  必有 0   0 M 0M  n   二、平面的点法式方程 n 

MoM={x-xo,y-yo,-Zo} .A(x-x)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 平面的点法式方程 其中法向量i={A,B,C},已知点(xo,y,) 平面上的点都满足上方程，不在平面上的点 都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平 面称为方程的图形

{ , , } 0 0 0 0  M M  x  x y  y z  z ( ) ( ) ( ) 0  A x  x0  B y  y 0  C z  z 0  平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的点 都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平 面称为方程的图形． 其中法向量 n  { A, B,C } ,  已知点 ( , , ). 0 0 0 x y z

例1求过三点42，-1,4)，B(-1,3,-2)和C(0,2,3) 的平面方程. A。 C。 解 AB={-3,4,-6} B。 AC={-2,3,-1} 取i=AB×AC={14,9,-1}, 所求平面方程为14(x-2)+9(y+1)-(?-4)=0, 化简得14x+9y-z-15=0

解 A B  {3, 4, 6} A C  {2, 3, 1} 取 n  A B  A C   {1 4, 9, 1} , 所求平面方程为 1 4( x  2)  9( y  1)  (z  4)  0, 化简得 1 4 x  9 y  z  1 5  0. 1 A. B. C. 1 (2, 1,4), ( 1,3, 2) (0,2,3) . 例 求过三点A B C    和 的平面方程

说明：此平面的三点式方程也可写成 x-2y+1z-4 -3 4 -6 =0 -2 3 -1 一般情况：过三点M(x,yk,)(k=1,2,3) 的平面方程为 x-x1 y-y1 -41 X2-七1y2-12-z1 =0 X3-x1y3-》13-1

此平面的三点式方程也可写成 3 4 6 0 2 3 1      x y z    2 1 4 一般情况 : 过三点 ( , , ) ( 1 , 2 , 3 ) M x y z k k k k k  的平面方程为 说明:

三、平面的一般方程 由平面的点法式方程 A(x-xo)+B(y-o)+C(z-zo)=0 宁1+8+G4,+,+CaD Ax+By+Cz+D=0平面的一般方程 法向量i={A,B,C}

由平面的点法式方程 ( ) ( ) ( ) 0 A x  x0  B y  y 0  C z  z 0  ( ) 0  A x  B y  C z  A x0  B y 0  C z 0   D A x B y C z D     0 平面的一般方程 法向量 n  { A, B,C } .  三、平面的一般方程

平面一般方程的几种特殊情况： (1)D=0,平面通过坐标原点； a4BT面r 类似地可讨论B=0,C=0的情形 (3)A=B=0,平面平行于0y坐标面； 类似地可讨论A=C=0,B=C=0情形

平面一般方程的几种特殊情况： (1) D  0, 平面通过坐标原点； (2) A  0,      0, 0, D D 平面通过 x 轴； 平面平行于 x 轴； (3) A  B  0, 平面平行于 xoy 坐标面； 类似地可讨论 A  C  0, B  C  0 情形. 类似地可讨论 B=0,C=0 的情形

例2.求通过x轴和点(4，-3，-1)的平面方程 解：因平面通过x轴，故A=D=0 设所求平面方程为 By+Cz=0 代入已知点(4，-3，-1)得C=-3B 化简，得所求平面方程 y-3z=0

例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D   0 设所求平面方程为 B y C z   0 代入已知点 ( 4 , 3 , 1 )   得 化简,得所求平面方程