《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章_9.3全微分

第三节金般今 ·一、金微分的定义 ·二、可微的条件 ·三、小结

第三节 全微分 • 一、全微分的定义 • 二、可微的条件 • 三、小结

一、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f(x+△x,y)-f(x,y)≈f(x,y)△x f(x,y+△y)-f(x,y)≈f(x,y)Ay 二元函数 二元函数 对x和对y的偏增量 对x和对y的偏微分

f ( x  x , y )  f ( x , y ) f x y x  x ( , ) f ( x , y  y )  f ( x , y ) f x y y  y ( , ) 二元函数 对 x 和 对 y 的偏微分 二元函数 对 x 和 对 y 的偏增量 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 一、全微分的定义

全增量的概念 如果函数z=f(x,y)在点(，y)的某个邻域内有定 义，并设P'(x+△x,y+△y)为这邻域内的任意一点， 则称这两点的函数值之差 f(x+△x,y+△y)-f(x,y) 为函数在点P对应于自变量增量△x,△y的全增量， 记作△z,即△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y):

全增量的概念 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ). z f x y x y P x x y y f x x y y f x y P x y z z f x x y y f x y                      如果函数 在点 的某个邻域内有定 义，并设 为这邻域内的任意一点， 则称这两点的函数值之差 为函数在点 对应于自变量增量 的 ， 记 全增量 作 ，即

全微分的定义 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量 △=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)可以表示为 △Z=A△K+BAy+o(p),其中A,B不依赖于 △x,△y而仅与x,y有关，p=V(△x)2+(④y)2 则称函数z=f(,y)在点（心，y)可微分，而 A△x+B△y称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的 全微分，记作z,即dz=A△x+B△y. 函数若在某区域D内各点处处可微分，则 称这函数在D内可微分

全微分的定义 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) , , , ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . z f x y x y z f x x y y f x y z A x B y o A B x y x y x y z f x y x y A x B y z f x y x y dz dz A x B y                                如果函数 在点 的全增量 可以表示为 ，其中 不依赖于 而仅与 有关， 则称函数 在点 可微分， 全微 而 称为函数 在点 的 分，记作 ，即 函数若在某区域D内各点处处可微分，则 称这函数在D内可微分

结论：如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分， 则函数在该点连续. 事实上△z=A△x+B△y+0(p),lim△z=0, p-→0 (ox(.(x+Ac,y+△Fmf(x,)+△z 0-0 f(x,y) 故函数z=f(x,y)在点(，y)连续

事实上  z  A x  B y  o(  ) , lim 0, 0    z  ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x x y y        lim[ ( , ) ] 0  f x y  z    f ( x , y ) ( , ) ( , ) . 如果函数z f x y x y  在点 可微分， 则函数在 结 ： 该点连续 论 故 函 数 z f x y x y  ( , ) ( , ) . 在 点 连 续

二、可微的条件 定理1（必要条件）如果函数z=f(x,y)在点(x,y) 可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数 z虹必定 Ox Oy 存在，且函数z=f(x,y)在点(，y)的全微分为 dz Ox

二、可微的条件 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1( ) z f x y x y z z x y x y z f x y x y z z dz x y x y               如果函数 在点 可微分，则该函数在点 的偏导数 、 必定 存在，且函数 在点 的全微分为 定理 必要条件

证如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分， P'(x+△x,y+△y)eP的某个邻域 △z=A△x+B△y+0(p)总成立， 当△y=0时，上式仍成立，此时p=△x f(x+△x,y)-f(x,y）=A·△.x+0(△x), lim +A,》-fx,y=A= Oz △x-→0 △x Ox 同理可得B= Oz dy

证 f x x y f x y ( , ) ( , )         A x o x (| |), 0 ( , ) ( , ) lim x f x x y f x y A   x      , z x    . z B y    同理可得 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) , z f x y P x y P x x y y P z A x B y o               如果函数 在点 可微分， 的某个邻域 总成立 当   y 0时 ， 上 式 仍 成 立 ， 此 时   | | x

一元函数在某点的导数存在<→ 微分存在. 多元函数的各偏导数存在<今全微分存在. y 例如，fx)={+严 x2+y2≠0 0 x2+y2=0 在点(0,0)处，f(0,0)=f,(0,0)=0

一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例如， . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2            x y x y x y x y f x y (0 , 0 ) (0 , 0 ) (0 , 0 ) 0 x y 在 点 处 ， f f  

△z-[f(0,0)·△x+f,(0,0)·△y]= △x·△y (Ax)+() 如果考虑点P'(△x,△y)沿着直线y=x趋近于(0,0) △x·△y 则y(A)'+(4) △x·△x 1 p (Ar)2+(422 说明它不能随着p→0而趋于0， .△z-[f:(0,0)△x+∫(0,0)△y≠0(p)(p→0) 函数在点(0,0)处不可微

z [ f (0,0) x f (0,0) y ]   x    y   , ( ) ( ) 2 2 x y x y        则  2 2 ( x) ( y) x y       2 2 ( x) ( x) x x        , 2 1  如 果 考 虑 点 P x y y x ( , ) (0 , 0 )    沿 着 直 线 趋 近 于 说 明 它 不 能 随 着   0 0 而 趋 于 ， [ (0 , 0 ) (0 , 0 ) ] ( ) ( 0 ) x y           z f x f y o   函数在点(0,0)处不可微

说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在 各偏导数存在只是全微分存在 的必要条件而不是充分条件， 定理2（充分条件）如果函数z=f(化，y)的偏导数 、在点(x,y)处连续，则该函数在点(x,) ax ay 可微分

说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在， ( , ) ( , ) ( 2 ) , ) . ( z f x y z z x y x y x y      如果函数 的偏导数 、 在点 处连续，则该函数在 定理 充分条 点 可微分 件 各偏导数存在只是全微分存在 的必要条件而不是充分条件