《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章_12.8一般周期函数的傅里叶级数

第、节一般周期品数的傅里叶级数 ·一、水21为周期的傅里叶级数 ·二、典型例题 ·三、小猪

第八节 一般周期函数的傅里叶级数 • 一、以2l 为周期的傅里叶级数 • 二、典型例题 • 三、小结

一、以2为周期的傅氏级数 (a cos nox+bsin nox) 00 一般三角级数 n=1 T=2， 2π 2π 0 T 设f(x)是以2为周期的函数，则o= 2r_元 TI 所以(x)的傅里叶展开式为 IGX

一、以2l为周期的傅氏级数 2 T ,    2 . T     0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a n x b n x     一般三角级数    2 f x l ( ) 2 = T l   设 是以 为周期的函数,则  0 1 ( ) ( cos sin ), 2 n n n f x a n x n x a b l l        所以 的傅里叶展开式为

定理：设周期为2的周期函数f(x)满足收敛 定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为 0 其中系数an,bn为： f()cosxs (n=0,1,2,.) 6.=,f)in”,(a=l,2

0 1 2 ( ) , ( ) ( cos sin ), 2 , 1 ( )cos , ( 0,1,2, ) 1 ( )sin , ( 1,2, ) n n n n n l n l l n l l f x a n x n x f x a b l l a b n x a f x dx n l l n x b f x dx n l l                   :设周期为 的周期函数 满足收敛 定理的条件 则它的傅里叶级数展开式为 其中系数 为: 定理

00 ()如果f(c)为奇函数，则有f(x)=∑b,sin πX 1 n=1 其中系数为6-n"u= (2如果fx)为偶函数，则有fx)=+∑4，c0s nπx 2 n=1 cos 1 其中系数a,为a=/x)cos”x0n=心，h2) 证明 1,-l≤x≤l→-元≤z≤元， 设断)=f原=e,F以x为周现

(2) ( ) , 如果f x 为偶函数 则有 cos , 2 ( ) 1 0       n n l n x a a f x 0 2 ( )cos ( 0,1,2, ) l n n n x a a f x dx n l l    其中系数 为  证明 , l x z  令   l  x  l    z  , ( ) ( ) F(z), lz f x f   设  F(z)以2为周期. (1) ( ) , 如果f x 为奇函数 则有 1 ( ) sin , n n n x f x b l      0 2 ( )sin , ( 1,2, ) l n n n x b b f x dx n l l    其中系数 为 

F(a)(+) 2 a=(o成， =1 其中 A-上F() 元X .= F(z)=f(x) 00 n= 其中a,=,fcos听 6,=扩，fx)s"贤c

( cos sin ) 2 ( ) 1 0 x l n x b l n a a f x n n n        ( )sin . 1 ( )cos , 1           b F z nzdz a F z nzdz n 其中 n ( )sin . 1 ( )cos , 1         l l n l l n xdx l n f x l b xdx l n f x l 其中 a F(z) f ( x) l x z     ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 a nz b nz a F z n n    n   

二、典型例题 例1设f(x)是周期为4的周期函数，它在-2,2) 0-2≤x<0 上的表达式为f国)={化05<2将其展开 成傅里叶级数. 解·：1=2，满足狄氏充分条件 =心0k+=k -2

二、典型例题 k  2 x y  4 0 2 4 解 l  2, 满足狄氏充分条件.      2 0 0 2 0 2 1 0 2 1 a dx kdx  k, 1 ( ) 4 [ 2, 2) 0 2 0 ( ) 0 2 . f x x f x k x           例 设 是周期为 的周期函数，它在 上的表达式为 ，将其展开 成傅里叶级数

。2 n= 2J0 k.cos- xdk=0,(n=1,2,. 2 k·sin (1-cosnz) n元 2J0 2 n元 2k 当n=1,3,5,. n元 0 当n=2,4,6,. ∴f(x)= 十 -(sin- -sIn -sin- 2元232 52 (-0<x<+0;X≠0，±2，±4，.)

   2 0 2 cos 2 1 xdx n k  0,     2 0 2 sin 2 1 xdx n b k n (1  cos )   n n k , 0 2,4,6, 1,3,5, 2            n n n k 当 当 ) 2 5 sin 5 1 2 3 sin 3 1 2 (sin 2 2 ( )           k k x x x f x (   x   ; x  0,2,4, ) an  (n  1,2, )

例2将函数 0≤x< -2 M(x)= p-),≤x≤ 2 2 分别展成正弦级数和余弦级数. 2 解：（①）将Mc)作奇延拓，则有 .(-inus n4+与9ma

l 2 l 4 pl O x y 解: (1) 将 M(x) 作奇延拓, 则有 0 2 ( ) sin d l n n x b M x x l l     2 0 2 2 ( ) [ sin d sin d ] 2 2 l l l px n x p l x n x x x l l l         

上受nx+m"”a n=2k 2pl(-1)-1 (2k-1)2π2 n=2k-1 M(x)的正弦级数为 M(x)= pl受(-1)- 2台(2k-12 Sin (2k-1)πx (0≤x≤)

1 2 2 2 0 0, 2 2 (2 1) 2 ( 1) sin d , 2 1 (2 1) l k n k p k x pl x x n k l l k                   1 2 2 1 ( ) 2 ( 1) (2 1) ( ) sin (2 1) (0 ) k k M x pl k x M x k l x l             的正弦级数为 2 2 0 0 ( ) [ sin d sin d ] 2 l l p px n x n l t t l x x t t l l l         令  

(2)将Mx)作偶延拓，则有得周期为L 2nx dx s-1 (2k-1F 2k-1 2nx dx 1

(2) 将 M(x) 作偶延拓, 则有得周期为l 2 0 4 2 ( ) cos d l n n x a M x x l l     2 0 4 2 cos d 2 l px n x x l l     2 2 , 2 1 (2 1) 1, 2, 3, 0, 2 pl n k k k n k            