《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章_9.2偏导数

第二节偏导赵 ·一、偏导数的定义及其计算法 ·二、高际偏导数 ·三、小猪

第二节 偏导数 • 一、偏导数的定义及其计算法 • 二、高阶偏导数 • 三、小结

一、偏导数的定义及其计算法 1.定义设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某一 邻域内有定义，当固定在y,而x在x,处有 增量△x时，相应的函数有增量 f(x+△x,y)-f(x,y) 如果 lim f(x+△x,y)-f(x,Jy) △x-→0 △x 存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点 (x,y)处对x的偏导数，记作

一、偏导数的定义及其计算法 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim ( , ) ( 1 , . ) x z f x y x y y y x x x f x x y f x y f x x y f x y x z f x y x y x             设函数 在点 的某一 邻域内有定义，当 固定在 ，而 在 处有 增量 时，相应的函数有增量 如果 存在，则称此极限为函数 在点 处对 的偏导 定义 数，记作

Ox af Oxx=x ’Oxx ,zl或f.x,= y=yo y=Yo y=Yo 类似地，函数z=f(x,y)在点(x,)处对的偏导数 定义为 lim f(xo,yo+Ay)-f(xo,Yo) △y-→0 △y 记作： Ox af a s或，(x, x=x0 ay x=x0 y=yo Y=Yo y=yo y=yo

0 0 0 0 0 0 0 0 , , ( , ) x x x x x x x x x x y y y y y y y y z f z f x y x x             或 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim y z f x y x y y f x y y f x y   y      类似地，函数 在点 处对 的偏导数 定义为 0 0 0 0 0 0 0 0 , , ( , ) y y x x x x x x x x y y y y y y y y z f z f x y y y             记作： 或

如果函数z=f(x,y)在点区域D内每一点(x,y) 处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x,y 的函数，称为函数z=f(x,y)对自变量的偏导数， 记作应，或财，c,以 OxOx 同理可以定义函数z=f(化，y)对自变量的偏导数， 记作 ,或f,x,以 Ov'o

( , ) ( , ) , ( , ) ( , ). x x z f x y D x y x x y z f x y x z f z f x y x x       如果函数 在点区域 内每一点 处对 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 的函数，称为函数 对自变量 的偏导数， 记作 ， ， 或 ( , ) ( , ). y y z f x y y z f z f x y y y      同理可以定义函数 对自变量 的偏导数， 记作 ， ， 或

偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如u=f(x,y,z)在(x,y,)处 f.(x,八，z）=-lim+A,-fx,52习 △x0 △x f,x,z)=1imf比，y+Ay,2)-fx,z) △y→0 △y f(xy,)=lim+A)-f(x,y.z) △z-→0 △z

偏导数的概念可以推广到二元以上函数 , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z f x y z x x        , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z f x y z y y        . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z f x y z z z        如 u  f ( x, y,z) 在 ( x, y,z) 处

例求z=x2+3y+y2在点(1.2)处的偏导数 解 = Ox 2x+3y; =3x+2y: dy ax2×1+3x2=8, Q 0 =3×1+2×2=7

解    x z 2x  3 y ;    y z 3x  2 y .       2 1 y x x z 21  3 2  8 ,      2 1 y x y z 31  2 2  7 . 2 2 例1 3 (1.2) 求z x xy y    在点 处的偏导数

例2设z=x'(x>0,x≠1)， 求证 欧， 1 Oz y ax Inx ay -2五 证 Oz Ox =x =xmnx, dy xOz ,10z yax =x少+x’=2z. 例3.求r=Vx2+y2+z2 的偏导数. Or 2x 解： x or ∂r oy Oz

证 1 , y z yx x     ln , y z x x y    y z x x z y x      ln 1 2 . y y    x x z 例3. 求 的偏导数 . 解: r x    2 2 2 2 2 x x y z   x r  r z z r    2 ( 0, 1) 1 2 . ln y z x x x x z z z y x x y          例 设 ， 求证

例4已知理想气体的状态方程pV=RT (R为常数)，求证： ap av aT ay at ap RT RT 证 p= → V av P2) V= RT OV R T=PV at V → → p OT P R ap R ap av aT RTRV RT =-1. av aT ap PV

证   V RT p ; 2 V RT V p       p RT V ; p R T V      R pV T ; R V p T    2 p V T RT R V V T p V p R             1. RT pV     4 ( ) 1. pV RT p V T R V T p            例 已知理想气体的状态方程 为常数 ，求证：

练习设z=arcsin ,求 Oz Ox x2+y2 x'ay 解 0 Ox -xy vr2tyy (y2yD y 1V(x2+y2)3 1y x2+y2

解    x z              x x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 | | ( x y ) y y x y     . | | 2 2 x y y   ( | |) 2 y  y 2 2 arcsin . x z z z x y x y       练习 设 ，求

Ox &y (-y) 1y川V(x2+y2)3 2+2,y>0 Oz 不存在. x2+y2y<0 y=0

   y z 2 2 2 2 2 1 1 y x x x y x y             2 2 3 2 2 ( ) ( ) | | x y xy y x y                  , 0 , 0 2 2 2 2 y x y x y x y x 0 0     y y x z 不存在．