《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章_9.6多元函数微分法的几何应用

第六节多元数散分法 的儿何寇用 ·一、一元向蛋值岛数及其导数 ·二、空间曲孩的加线与佐年面 ·三、曲面的如平面与法孩 ·四、小结

第六节 多元函数微分法 的几何应用 • 一、一元向量值函数及其导数 • 二、空间曲线的切线与法平面 • 三、曲面的切平面与法线 • 四、小结

一、一元向量值函数及其导数 1、概念 空间曲线厂的参数方程为 x=o(t), y=w(t),t∈[a,B] (1) z=0(t), 若记 r=xi+yj+zk,J(t)=o(t)i+v(t)j+o(t)k 则方程1)可以写为7=f()tea,]

一、一元向量值函数及其导数 ( ), ( ), [ , ] (1) ( ), x t y t t z t                空间曲线 的参数方程为 r x i y j z k    , f t t i t j t k ( ) ( ) ( ) ( )       若记 则 方 程 (1) ( ) [ , ] 可 以 写 为 r f t t     1、概念

定义设数集DcR,则称映射f:D→R"为 一元向量值函数，通常记为 r=f(t),t∈D 其中数集D称为函数的定义域，称为自变量， 称为因变量， 本文只讨论=3的一元向量值函数 在R3中，向量值函数f(t),t∈D一般可表示为 f(t)=f(t)i+f(t)j+f(t)k teD 或f(t)=(f(t),f(t),f3(t)t∈D

: ( ), n D R f D R r f t t D D t r     设数集 ，则称映射 为 一元向量值函数，通常记为 其中数集 称为函数的定义域， 称为自变量， 称 定义 为因变量. 本文只讨论n=3的一元向量值函数 3 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ), ( )) R f t t D f t f t i f t j f t k t D f t f t f t f t t D        在 中，向量值函数 ， 一般可表示为 或

设向量的起点取在原点O,终点在M, 即r=O,当变化时，跟着变化，M也跟 着变化.终点M的轨迹（记作T)称为向量 值函数r=f(t)t∈D)的终端曲线，曲线工 也称为向量值函数r=f(t)的图形 M 曲线Γ的方程为 r=f()=(f1(t),f(t),f3()t∈D

1 2 3 ( ) ( ( ), ( ), ( )) r f t f t f t f t t D     曲 线 的 方 程 为 ( )( ) , , ( ) ( ) . r O M r OM t r r M M r f t f t t D       设 向 量 的 起 点 取在 原 点 终 点 在 即 ,当 变化 时, 跟着变化, 也跟 着变化.终 点 的 轨迹 记作 称 为 的 终端 曲 线,曲 线 也称 为 向 量值 函 向 量 值 函 数 数 的 图 形 x y Oz  M r

定义1.设向量值函数f(t)在点t的某去心邻域内 有定义，如果存在一常向量”0对ε>0,6>0， 使得当0<t-t,<6时，ft)都满足不等式 f0)-< 则称常向量”为向量值函数f(t)当t→t,时的极限， 记作 imf)=。或f(0)→，t→。 yt

在点 的某去心邻域内 对   0 ,    0 , 0 使得当0    t t  时， 0 f t r ( )    0 0 0 0 lim ( ) ( ) t t f t r f t r t t     或 ， 有定义 ,如果存在一常向量 记作 则称常向量 为向量值函数 定义1 . 设向量值函数

容易证明：im(t)=方存在的充分必要条件是： tt0 f(t)的三个分量函数f(),f,(t),f(t)当t→t时的 极限都存在，且有 f4=i四(，i四f,of6) 设向量值函数f(t)在t的某邻域内有定义，若 limJ(t)=f(t) 则称向量值函数f(t)在t连续

0 0 0 0 0 0 1 2 3 0 1 2 3 : lim ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) lim ( ) (lim ( ),lim ( ),lim ( )) t t t t t t t t t t f t r f t f t f t f t t t f t f t f t f t         容易证明 存在的充分必要条件是: 的三个分量函数 当 时的 极限都存在，且有 0 0 0 0 ( ) lim ( ) ( ) ( ) t t f t t f t f t f t t   设向量值函数 在 的某邻域内有定义,若 则称向量值函数 在 连续

向量值函数f(t)在t连续的充分必要条件是 f(t)的三个向量f(t),f(t),f(t)都在连续， 设向量值函数f(t),t∈D.若D,cD,f(t)在D, 中的每一点处都连续，则称f(t)在D上连续， 并称f(t)是D,上的连续函数

0 1 2 3 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f t t f t f t f t f t t 向量值函数 在 连续的 是 的三个向量 ， ， 都 充分必 件 在 要条 连续. 1 1 1 1 ( ) . , ( ) ( ) ( ) f t t D D D f t D f t D f t D 设向量值函数 ，   若 在 中的每一点处都连续，则称 在 上连续， 并称 是 上的连续函数

设向量值函数r=子(t)在点t的某个邻域内 有定义，如果 lim f。+△)-f() △t-→0 △t 存在，则称这个极限为向量值函数r=了()在点t的 的导数或导向量，记为广化减断

0 0 0 0 0 0 0 ( ) , ( ) ( ) lim ; , ( ) , ( ) . t t t r f t t f t t f t t r f t t d r f t dt          导数或  设向量值函数 在点 的某个邻域内 有定义 如果 存在 则称这个极限为向量值函数 在点 的 的 导向量 记为 或

设向量值函数r=f(t),t∈D.若D,cD, (t)在D,上的每点处都存在导向量()，就 称函数f(t)在D,上可导. 向量值函数f(t)在t,可导的充分必要条件是 f(t)的三个向量f(t),f2(t),f3(t)都在可导， 其导数为f(t)=f(t)i+f'(t0)j+f3'()k

1 1 1 ( ) . , ( ) ( ), ( ) . r f t t D D D f t D t f t f t D     设向量值函数 ， 若 在 上的每点 处都存在导向量 就 称函数 在 上可导 0 1 2 3 0 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f t t f t f t f t f t t f t f t i f t j f t k        向量值函数 在 可导的充分 是 的三个向量 ， ， 都在 可导， 其 必要条件 导数为

向量值函数的求导法则 设(t),v(t)时可导的向量值函数，C是 常向量，c是常数，p(t)是数量函数，则 0c-0 (②e)1=cao d o年e士0-0t0. ④21=piem0+poa0 话(01=di0+i0

向量值函数的求导法则 ( ), ( ) ( ) u t v t C c t  设 时可导的向量值函数，是 常向量, 是常数, 是数量函数,则 (1) 0 (2) [ ( )] ( ) (3) [ ( ) ( )] ( ) ( ), (4) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) (5) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) d d C cu t cu t dt dt d u t v t u t v t dt d t u t t u t t u t dt d u t v t u t v t u t v t dt                   