《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 向量代数与空间解析几何_8-4 空间直线及其方程

第四节 第八章 空风直线及其方程 一、空间直线方程 二、线面间的位置关系

一、空间直线方程 二、线面间的位置关系 空间直线及其方程 第八章

一、空间直线方程 1.一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程 A1x+B1y+C12+D1=0 42x+B2y+C2+D2=0 (不唯一)

一、空间直线方程 x y z o 0 A1x  B1 y  C1z  D1  0 A2 x  B2 y  C2 z  D2  1 2 L 因此其一般式方程 1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， (不唯一)

2.对称式方程 已知直线上一点M0(x0,0,2o)和它的方向向量 S=(m,n,p),设直线上的动点为M(x,y,) 则 MoM∥s M(x,y,2) 故有 X-x0=y-y0=2-0 M(x0,yo,20) m n p 此式称为直线的对称式方程（也称为点向式方程

( , , ) 0 0 0 0 M x y z 2. 对称式方程 故有 m x x  0 设直线上的动点为 则 M (x, y,z) n y y  0  p z z  0  此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) s 已知直线上一点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z M (x, y,z) 和它的方向向量 s  (m, n, p), M M // s 0

x-0-y-y0=2-0 m n p 说明：某些分母为零时，其分子也理解为零 例如，当m=n=0,p≠0时，直线方程为 x=X0 (y=Yo 思考：通过两点M(x,y,二)和M(x2,y2,2) 的直线方程如何？

思考： 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.      0 0 y y x x 直线方程为 通过两点 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 例如, 当m  n  0, p  0 时, 和 m x x  0 n y y  0  p z z  0  的直线方程如何？

3.参数式方程 设 x-0=y-0=2-0=i m 得参数式方程 x=xo +mt y=Yo+nt 2=20+pt

3. 参数式方程 设 得参数式方程 : t p z z n y y m x x       0 0 0 x  x  mt 0 y  y  nt 0 z  z  pt 0

例1.用对称式及参数式方程表示直线 x+y+z+1=0 2x-y+3z+4=0 解：先在直线上找一点 令x=1,解方程组 3=6,得y=0,=-2 y+2=-2 故(1,0，-2)是直线上一点 再求直线的方向向量 交己知直线的两平面的法向量为 元20,1,1)，元2=(2，-1,3) .sLn1,s⊥n2 s=n xn2

例1 用对称式及参数式方程表示直线 解:先在直线上找一点.            2 3 4 0 1 0 x y z x y z 3 6 2      y z y z 再求直线的方向向量 令 x = 1, 解方程组 ,得 y  0, z  2 交已知直线的两平面的法向量为 故(1,0, 2)是直线上一点 . s . (1,1,1), n1  (2, 1,3) n2   1 2  s  n ,s  n 1 2  s  n  n

S=n1×n2= 111 =(4,-1,-3) 2-13 故所给直线的对称式方程为 z+2 x=1+41 参数式方程为 {y=-t z=-2-3t 解题思路：先找直线上一点； 再找直线的方向向量

故所给直线的对称式方程为 参数式方程为            z t y t x t 2 3 1 4  t 4 x 1 1  y 3 2    z 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量.  (4,1, 3) 1 2 s  n  n 2 1 3 1 1 1   i j k

二、线面间的位置关系 1.两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角（通常取锐角） 设直线L,L,的方向向量分别为 S=(m1,n1,p1),S2=(m2,n2,P2 则两直线夹角0满足 cos mim2+nn2+pip2 Nm2+m2+p2Vm22+n22+p2

L2 L1  二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 则两直线夹角  满足 1 2 设直线L , L  两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 的方向向量分别为 1 2 1 2 1 2 m m  n n  p p 2 1 2 1 2 1 m  n  p 2 2 2 2 2 2 m  n  p ( , , ), ( , , ) 1 1 1 1 2 2 2 2 s  m n p s  m n p 1 2 1 2 cos s s s  s   1s 2s

特别地，有： (012$132 →m1m2+n1n2+p1p2=0 (2)L∥L2s/52 m2 n2 02

特别地，有: 1 2 (1) L  L 1 2 (2) L // L 0 m1m2  n1n2  p1 p2  2 1 2 1 2 1 p p n n m m   1 2 s  s 1 2 s //s

例2.求以下两直线的夹角 :X-1y+3 1-41 x+y+2=0 L4x+2z=0 解：直线L的方向向量为s=(1,-4,1) i可 直线L2的方向向量为32=110=(2，-2，-1) 102 二 直线夹角0的余弦为 1×2+(-4)×(-2)+1×(-1) coso 12+(-4)2+12/22+(-2)2+(-1) 从而

例2 求以下两直线的夹角 解: 直线 直线 二直线夹角 的余弦为 1 3 1 4 1 : 1     x  y z L         2 0 2 0 : 2 x z x y L cos  2 2  从而 4    L1的方向向量为 L2 的方向向量为  (2,  2, 1) 1 2  (4) (2) 1 (1) 2 2 2 1  (4) 1 2 2 2 2  (2)  (1) (1, 4,1) s1   1 0 2 1 1 0 2 i j k s 