《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）2.5 随机变量的函数的分布

第五节随机变量的函数的分布 一、离散型随机变量的函数的分布 二、连续型随机变量的函数的分布 重点：分布函数法；随机变量的函数的概率密度公式

一、离散型随机变量的函数的分布 二、连续型随机变量的函数的分布 分布函数法；随机变量的函数的概率密度公式 第五节 随机变量的函数的分布 重点：

随机变量的函数 设X是一随机变量，g(是已知的连续函数，则Y=g(X) 也是一个随机变量，当X取值x时，Y取值y=g(x): 称Y=g(X)为随机变量X的函数. 例如：测量圆轴的直径，测量结果是一个随机变量X, 如果已知X的分布，如何求面积A的分布？A=平X 问题： 已知随机变量X的概率分布，求Y=g(X的概率分布

称 Y = g( X ) 为随机变量 X 的函数 . 设 X g Y g X 是一随机变量， ( ) ( )  = 是已知的连续函数，则 已知随机变量 X Y g X 的概率分布，求 = ( )的概率分布 . 也是一个随机变量， 当X x Y y g x 取值 时， 取值 = ( ). 随机变量的函数 问题： 例如：测量圆轴的直径，测量结果是一个随机变量X， 如果已知X的分布，如何求面积A的分布？ 2 4 A X  =

一、离散型随机变量的函数的分布 例1设X的分布律为 X-1012 Pk0.20.30.10.4 求Y=(X-1)2的分布律 解：由X的分布律可得 Y=(X-1)24101 Pk 0.20.30.10.4 所以Y的分布律为 Y014 Pk0.10.70.2

4 1 0 1 2 Y X = − ( 1) k p 0.2 0.3 0.1 0.4 解： 设 X 的分布律为 X k p −1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4 例1 所以 Y 的分布律为 2 求Y X = − ( 1) . 的分布律 Y k p 0 1 4 0.1 0.7 0.2 由 X 的分布律可得 一、离散型随机变量的函数的分布

对于一般的离散型随机变量X,其函数Y=g(X) 也是离散型随机变量.若X的分布律为 X 1 x2 Xk Pe p p2. 则Y=g(X)的分布律为 Y=g(X) 8(x1)8(x2).g(xk) P P1P2·· Pi 注：若g(x)中有值相同的，应将相应的Pk合并

( ) . X Y g X X 对于一般的离散型随机变量 ，其函数 = 也是离散型随机变量 若 的分布律为 X pk 1 2 k x x x 1 2 k p p p 则Y g X = ( )的分布律为 pk Y g X = ( ) p p p 1 2 k 1 2 ( ) ( ) ( ) k g x g x g x ( ) , . k k 注：若 g x p 中有值相同的 应将相应的 合并

二、连续型随机变量的函数的分布 重点！ 复习： Fx)=P{X≤x=∫nf)dt 定义域(-0，o) f(x)=F'(x), 问题：已知X~fx(x),Y=g(X),求Y~f(y) 方法一：分布函数法 F,(y)=PY≤y}=P{g(X)≤y以 =s,fxdx,（-o<xKo f(y)=IFy(y),(-o<y<o)

二、连续型随机变量的函数的分布 ——重点！ F x P X x ( ) { } =  ( )d 定义域（−   ， ） x f t t − =  f x F x ( ) ( ). =  方法一：分布函数法 ~ ( ) ( ) ~ (y) 问题：已知X f x Y g X Y f X Y ， = ，求 ( ) ( )d , ( ), X g x y f x x x  = −     ( ) [ ( ) ] , ( ) Y Y y  = −    f y F y y  ( ) { } { ( ) } F y P Y y P g X y Y =  =  复习：

例2.设随机变量X的概率密度为 fx(x)=8' 0<x<4, 0,其它 求随机变量Y=2X+8的概率密度. 解第一步先求Y=2X+8的分布函数F,(y). F,(y)=PY≤y}=P2X+8≤y} =PKs,3=5'气8-度fsh 第二步由分布函数求概率密度。 w=0-28'23=2月

第一步 先求Y=2X+8 的分布函数 ( ). F y Y ( ) { } F y P Y y Y =  = +  P X y {2 8 } 解 , 0 4, ( ) 8 0, . 2 8 . X X x x f x Y X     =    = + 设随机变量 的概率密度为 其它 求随机变量 的概率密度 8 { } 2 y P X − =  例2. 8 ( ) 2 X y F − = 第二步 由分布函数求概率密度. 8 8 ( )( ) 2 2 X y y f − −  = Y ( ) ( ) Y f y F y =  8 1 ( ) 2 2 X y f − = 8 2 ( ) y X f x dx − − = 

1y-8,1 0<y-8<4, f(0y)=82 2 0, 其它 y-8 32￥ 8<y<16 0, 其它

8 , 8 16, 32 0, . y y  −    =    其它 1 8 1 8 , 0 4, ( ) 8 2 2 2 0, . Y y y f y  − −      =   其它

例3设随机变量X具有概率密度fx(x),-o0时，F,(Oy)=P{Y≤y}=P{X2≤y =P-VD≤X≤√}=Fx(W)-Fx(√)， 上式两边对y求导，可得 =f22 可得-+可0 y≤0

例 3 设随机变量 X 具有概率密度 ( ), X f x x −   +，求 2 Y X = 的概率密度。 ( ) F y Y =  P Y y { } = 0, ( ) F y Y =  P Y y { } 2 =  P X y { } = −   P y X y { } ( ) = F y X ( ), − − F y X 解： ( ) Y f y 1 ( ) 2 X f y y = 1 ( ) , 2 X f y y + − 1 ( ) ( ) 0 ( ) . 2 0 0 X X Y f y f y y f y y y    + −     =    可得 上式两边对 y 求导，可得 当 y  0时， 当 y  0时， ( ) 0; Y 故 f y =

0 y≤0 如：X~N(0,1),即X的概率密度为 1ei,-00, 0 y≤0. Y服从自由度为1的X分布

2 2 1 ( ) , , ~ (0,1) 2 x X N X  x e x  − = −     如： ，即 的概率密度为 2 则Y X = 的概率密度为： 1 2 2 1 , 0, ( ) 2 0 0. Y y y e y f y y   − −   =     服从自由度为 的 分布. 2 Y 1  1 [ ( ) ( )] 0 ( ) . 2 0 0 X X Y f y f y y f y y y  + −   =    

方法二：公式法 定理设随机变量X的具有概率密度fx(x),其中-o0(或恒有g'(x)<0), 则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为 n-人 其它. a=minig(-co),g(co),B=maxig(-co),g(oo), h(y)是g(x)的反函数

方法二：公式法 其中  ，  ， 是 的反函数 min ( ), ( ) max ( ), ( ) ( ) ( ) . α g g β g g h y g x = −  = −    ( ), ( ) ( ) 0( ( ) 0) ( ) , ( ) ( ) , , ( ) 0, . X Y X f x x X g x g x g x Y g X f h y h y α y β f y −             =   =  设随机变量 的具有概率密度 其中 ， 又设函数 处 可导，且恒有 或恒有 ， 则 是连续型随机变量 定理 其 率 为 它 其概 密度