《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）8.1 假设检验

第一节假设检验 一、假设检验的基本思想 二、假设检验的两类错误 三、假设检验的基本步骤

第一节 假设检验 一、假设检验的基本思想 二、假设检验的两类错误 三、假设检验的基本步骤

第八章假设检验 若对参数 用参数估计 一无所知 的方法处理 若对参数有所了 用假设检验的 解，但有怀疑 方法来处理

第八章 假设检验 若对参数 一无所知 用参数估计 的方法处理 若对参数有所了 解，但有怀疑 用假设检验的 方法来处理

一、假设检验的基本思想 假设检验：先对总体的参数或概率分布的形式作某种假设 然后利用样本信息按一定的原则对所作的假设的正确性进行推 断，从而作出接受或拒绝所作假设的决定 基本原理 实际推断原理即“小概率事件原理” “小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的”. 基本思路 一一一类似于反证法 (1)首先提出假设H,；(2)据此构造一个小概率事件；(3) 根据一次抽样所得到的样本值进行计算，若导致小概 率事件发生，则否定原假设，否则接受原假设

一、假设检验的基本思想 假设检验：先对总体的参数或概率分布的形式作某种假设. 然后利用样本信息按一定的原则对所作的假设的正确性进行推 断，从而作出接受或拒绝所作假设的决定. (1)首先提出假设H0；(2) 据此构造一个小概率事件；(3) 根据一次抽样所得到的样本值进行计算，若导致小概 率事件发生，则否定原假设，否则接受原假设. 基本原理 ——实际推断原理,即“小概率事件原理” “小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的”. 基本思路 ——类似于反证法

如：，X:100米外一次命中的环数.判断小明是不是神枪手？ L神枪手的判定标准：平均成绩大于9.5！ (I)假设Ho:小明是神枪手.H1:小明不是神枪手 (2)在H为真的前提下，构造小概率事件： 显著性水平 PH为真{}=PH为真{汉≤9.5}=a (检验水平) (ax=0.05) (3)根据样本值决策：小明的平均成绩：=7.5 应该否定之前的假设H,! 结论：小明不是神枪手！ 单个总体： 检验均值、方差 参数检验 假设检验 两个总体：检验均值差、方差比 的内容 分布拟合检验 非参数检验 秩和检验

(1) 假设H0 : 小明是神枪手. 0 （2）在H 为真的前提下，构造小概率事件： （ = 0.05） 如：X :100 . 米外一次命中的环数 (3) 根据样本值决策： 应该否定之前的假设H0！ 小明的平均成绩：x = 7.5 H1 : 小明不是神枪手. 结论：小明不是神枪手！ 假设检验 的内容 参数检验 非参数检验 单个总体： 检验均值、方差 分布拟合检验 秩和检验 ( ). 显著性水平 检验水平 神枪手的判定标准：平均成绩大于9.5 两个总体：检验均值差、方差比 判断小明是不是神枪手？ 0 0 {*} { 9.5} P P X H H 为真 =  = 为真 

例1某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装糖重是一个 随机变量，服从正态分布。当机器正常时，其均值为0.5公斤， 标准差0.015公斤。某日开工后为检验包装机是否正常，随机地 抽取它所包装的糖9袋，测得净重为（公斤)：0.497,0.506， 0.518,0.524,0.498,0.511,0.520,0.515,0.512。假定袋装糖 重X的方差不变，问机器是否正常？ 机器正常时， 何题：据样本值判断A-05E是u05.N0气015 (四提出两个对立假设H。:u=h=0.5和H1:μ≠h·”o (下面利用样本作出判断：接受假设H还是拒绝H,) (2)在H为真的假设下，选取恰当统计量，构造一个小概率事件 PH为真{}=P4{}≤a数a称为显著性水平（检验水平） (如给定a=0.05)

例1 某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装糖重是一个 随机变量，服从正态分布。当机器正常时，其均值为0.5公斤， 标准差0.015公斤。某日开工后为检验包装机是否正常，随机地 抽取它所包装的糖9袋，测得净重为（公斤）：0.497，0.506， 0.518，0.524，0.498，0.511，0.520，0.515，0.512。假定袋装糖 重X的方差不变，问机器是否正常？ 问题: 根据样本值判断   =  0.5 0.5 . 还是 (1) 提出两个对立假设 0 0 1 0 H H : 0.5 : .     = =  和 (下面利用样本作出判断：接受假设H0 还是拒绝H0 ） (2) 在H0为真的假设下, 选取恰当统计量, 构造一个小概率事件 0 0 {*} {*} P P H 为真 =    数称为显著性水平( ). 检验水平 （如给定α =0.05） ( ) 2 X N~ 0.5 0.015 机器正常时， ，  2 

因E(X)=山，当H为真(u=)时偏差X-4不应太大， 若X-山过分大（小概率事件），就拒绝H,: 青迪到击以，为夷时，7= ~0,)二二检验统计量 而衡量下-4的大小，可归结为衡量 -4 的大小 σ/Vn 可适当选择一正数k,当观察值满足 氏一≥k时，就可以认为 al n 与%的差异是里着的，就拒绝H:当二 <k时就接受H,: Q称为显著性水平

因E X( ) = ， 当H X 0 0 0 为真(   = − )时偏差 不应太大， 若 X H − 0 0 过分大（小概率事件），就拒绝 . 0 0 / X X n    − 而衡量 − 的大小，可归结为衡量 的大小 0 0 ~ (0,1) / X H Z N n   − 考虑到当 为真时， = 0 / x k x k n   − 可适当选择一正数 ，当观察值 满足  时，就可以认为 0 0 . / x k H n   − 当  时就接受 — 检验统计量 = 0 0 / X k n P              − 即令  = /2 k z  =  x与0的差异是显著的， 就拒绝H0； 小概率事件 称为显著性水平

ri 即当☑的观察值满足 拒绝域 名时最室德肌 a/2 当二么<a时就接受H.查表可知，s=s=1,96 ol√n 即拒绝域为：1z小-421.96 oIn (3)根据样本值决策：代入数据o=0.015,n=9,x=0.511, ÷1F-丛-22≥196在拒绝域内， cl√n 于是拒绝H,认定这天包装机不正常

2 z 2  2  2 z −  1− 0 / X P k n            −  = / 2 k z  =  即当 的观察值满足 | | 0 /2 0 时就拒绝 ， / Z x z z H n    − =  0 /2 0 | . / x z z H n    − 当| =  时就接受 1.96 代入数据  = = = 0.015, 9, 0.511, n x 0 | 2.2 / x z n   −  = = | 于是拒绝 H0，认定这天包装机不正常. 拒绝域 (3) 根据样本值决策： 0.05 0.025 2 查表可知，z z = = 1.96 即拒绝域为： 0 | 1.96 / x z n   − | =  在拒绝域内

二、假设检验的两类错误 当H0为真时，可能犯拒绝H的错误，称这类“弃真”的 错误为第I类错误。犯这类错误的概率记为. 即a=P{当H为真时拒绝Ho}=Pe,{拒绝4} 当H不真时，我们也有可能接受接受H,这类“取伪”的 错误称为第Ⅱ类错误.犯这类错误的概率记为B 即B=P{当H不真时接受H}=Pe4,{接受H}

二、假设检验的两类错误 当H0 为真时，可能犯拒绝H0 的错误，称这类“弃真”的 错误为第 I 类错误。 犯这类错误的概率记为. 即  = P H H { } 当 0 0 为真时拒绝 0 0 { }. = PH 拒绝 当H0 不真时，我们也有可能接受接受H0 ，这类“取伪”的 错误称为第Ⅱ类错误 . 犯这类错误的概率记为 0 0 即  = P H H { } 当 不真时接受 1 0 { H }. = PH 接受

在确定检验法则时，应尽可能使犯两类错误的概率都较小 可以证明： 当样本容量n一定时，小，B就大；反之，a大，B就小. 若要使α和邛同时减小，只能增大样本容量. 一般说来，我们总是控制犯第I类错误的概率，使它不大于. 这种只对犯第I类错误的概率加以控制，而不考虑犯第Ⅱ类 错误的概率的检验，称为显著性检验。 形如H。:4=h,H1:4≠4的假设检验称为双边假设检验， H称为双边备择假设

在确定检验法则时，应尽可能使犯两类错误的概率都较小. 若要使α和β同时减小，只能增大样本容量. 当样本容量n一定时，    小 就大；反之， 大 就小. 一般说来，我们总是控制犯第Ⅰ类错误的概率，使它不大于. 这种只对犯第Ⅰ类错误的概率加以控制，而不考虑犯第Ⅱ类 错误的概率的检验，称为显著性检验 . 0 0 1 0 形如H H : :     =  ， 的假设检验称为双边假设检验， 1 H 称为双边备择假设. 可以证明：

拒绝域与临界点 当检验统计量取某个区域C中的值时拒绝原假设H? 则称区域C为拒绝域，拒绝域的边界点称为临界点 如上例中拒绝域为≥乙。2，z=±xa2称为临界点. 说明：()拒绝域的大小，依赖于显著性水平0的取值： 显著性水平α越小，拒绝域也越小，原假设就越难拒绝， (2)拒绝域是指检验统计量的值所在的区间，不是被检验的参数， 1- a/2 拒绝域 拒绝域 接受域

当检验统计量取某个区域 中的值时拒绝原假设 ， 则称区域 为拒绝域，拒绝域的边界点称为临界点 0 . C H C 拒绝域与临界点 / 2 z z . 如上例中拒绝域为 z z   / 2 , =   称为临界点 (1) . (2) .   拒绝域的大小，依赖于显著性水平 的取值. 显著性水平 越小，拒绝域也越小 检验统计量的值 ，原假设就越难拒绝 拒绝域是指 所在的区间，不是被检 说 ： 验的参数 明 2 z2  2  2 z −  1− 接受域 拒绝域 拒绝域