山东理工大学：《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 矩阵与向量 2-1 消元法与矩阵初等变换

©少东理2工大军 第二章矩阵与向量 第一节消元法与矩阵的初等变换 第二节向量及其线性运算 第三节向量组的线性相关性 第四节矩阵的秩 上页

第二章 矩阵与向量 • 第一节 消元法与矩阵的初等变换 • 第二节 向量及其线性运算 • 第三节 向量组的线性相关性 • 第四节 矩阵的秩

©少东X大军 第一节消元法与矩阵的初等变换 一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 上页 区回

第一节 消元法与矩阵的初等变换 一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换

©山东理工大军 一、消元法解线性方程组 1、用消元法解下列方程组的过程. 引例求解线性方程组 2x1-x2+2x=4, +x2+2x3=1, x++2x=1()一 2x1-x2+2x3=4, 41+x2+4x3=2. 4x1+x+4x3=2. x1+x2+2x3=1, x1+x2+2x3=1, x=-1, -3x2-2x3=2, -3x2-2x=2,→ 2=-2, -2x3=-4 (x3=2

引例 (1) 一、消元法解线性方程组 求解线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 4, 2 1, 4 4 2. x x x x x x x x x  − + =   + + =  + + =  1、用消元法解下列方程组的过程． 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1, 2 2 4, 4 4 2. x x x x x x x x x  + + =   − + =  + + =  1 2 3 2 3 2 3 2 1, 3 2 2, 3 4 2. x x x x x x x  + + =   − − =  − − = −  1 2 3 2 3 3 2 1, 3 2 2, 2 4. x x x x x x  + + =   − − =  − = −  1 2 3 1, 2, 2. x x x  = −   = −  = 

⑤少东用大军 小结： (一)上述解方程组的方法称为消元法. (二)始终把方程组看作一个整体变形，用到 如下三种变换 ①交换方程次序： (⊙与①相互替换) ②以不等于0的数乘某个方程： (以①×k替换①) ③一个方程加上另一个方程的倍： (以①+k⑦替换⑦) 上页 这回

小结： （一）上述解方程组的方法称为消元法． （二）始终把方程组看作一个整体变形，用到 如下三种变换 ①交换方程次序； ②以不等于０的数乘某个方程； ③一个方程加上另一个方程的k倍． （ i 与 j 相互替换） （以 i  k 替换 i ） （以 i + k j 替换 i ）

©少东X工大军 (三)上述三种变换都是可逆的： 若(4)0(B,则B)D0(A片 若(4④①xK(B,则(B)①÷k(A)月 若()+AD(B,则(B)E-k(A 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的.故这三种 变换是同解变换. 我们称这三种变换是线性方程组的初等变换

（三）上述三种变换都是可逆的． 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换． i j 若(A) (B),  则(B) (A); i  j + k 若(A) (B), i j 若(A) (B), i  k 则(B) (A); i  k 则(B) (A). i − k j 我们称这三种变换是线性方程组的初等变换

⑤少本开上大军 矩阵的定义 定义由数域F中的m×n个数a,（i=1,2,m; 型 =1,2,.,)排成的行列的矩形数表，称为数域 r中的一个m×n矩阵 记作：A=(a,)mxn (a;) 11 12 元素 21 4= l22 行标 列标 ,称为矩阵A的第i行第例元素。 上页

2、矩阵的定义 定义 ( ) A a = ij m n ）排成的 m 行 列的矩形数表，称为数域 n 由数域 F 中的 m n 个数 aij （ i m = 1,2, , ; j n = 1,2, , 记作： 11 12 1 21 22 2 1 1 n n m m mn a a a a a a A a a a     =         A m n ( )ij a 元素 行标 列标 ij a 称为矩阵A 的第i j 行第列元. 素。 F中的一个 m n 矩阵

©山东理工大军 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩 阵称为复矩阵： 例如： 是一个2×4实矩阵； 6 2i 22 是一个3×3复矩阵； 是一个3×1（实）矩阵； (2 3 59) 是一个1×4（实）矩阵； (4) 是一个1×1（实）矩阵

元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩 阵称为复矩阵. 例如:       − 9 6 4 3 1 0 3 5 是一个24实矩阵;         2 2 2 2 2 2 13 6 2i 是一个33复矩阵;         4 2 1 是一个14(实)矩阵; (2 3 5 9) 是一个31(实)矩阵; (4) 是一个11(实)矩阵

②少东理工大军 非齐次线性方程组与矩阵 1、 线性方程组 011x1+L122+.+a1mXn=b1 a21X1+022x2+.+2mXn=b2 （2-8) amix+am2x2++amnxn =bm 411 412 . 11 12 21 22 A= 021 u22 A am2 A称为方程组(2-8)的系数矩阵，A称为增广矩阵

１、线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + =  记 （2-8） 非齐次线性方程组与矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n m m mn a a a a a a A a a a     =         A称为方程组(2-8)的系数矩阵,               = m 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 b b b        m m mn n n a a a a a a a a a A A称为增广矩阵

©少东理工大军 二、矩阵的初等变换 定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换： ()对调两行（对调，两行，记作）； (2)以数k≠0乘以某一行的所有元素 (第i行乘k,记作r×k) (3)把某一行所有元素的k倍加到另一行 对应的元素上去（第j行的k倍加到第i行上 记作+kr,)

定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)对调两行（对调i, j两行,记作ri  rj）； (2)以 数 k  0 乘以某一行的所有元素; （第 i 行乘 k,记作 ri  k） ( ) . 3 记 作 ） 对应的元素上去（第 行 的 倍加到第 行 上 把某一行所有元素的 倍加到另一行 i krj r j k i k + 二、矩阵的初等变换

⑨少本理上大 同理可定义矩阵的初等列变换（所用记号是 把“r”换成“c). 定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换，且变换类型 相同. 分j逆变换分 5×k 逆变换×（月或÷k5 +k切逆变换+(-k)r,或-k灯 回

定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同． 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)． i j r  r r k i  逆变换 ; i j r  r 逆变换 ) ; 1 ( r k k ri  或 i  i j r + kr 逆变换 ( ) . i j i krj r + −k r 或 r −