《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 参数估计

概率伦与款理统外 第一节 点估计 一、点估计问题的提法 二、估计量的求法

第一节 点估计 一、点估计问题的提法 二、估计量的求法

概车纶与款理统外 一、点估计问题的提法 设总体X的分布函数形式已知，但它的 一个或多个参数为未知，借助于总体X的一 个样本来估计总体未知参数的值的问题称为 点估计问题

一、点估计问题的提法 设总体 X 的分布函数形式已知, 但它的 一个或多个参数为未知, 借助于总体X 的一 个样本来估计总体未知参数的值的问题称为 点估计问题

概率伦与款程统外 点估计问题的一般提法 设总体X的分布函数F(x;O)的形式为已 知，B是待估参数X1,X2,.,Xn是X的一个样 本，x1,x2,xn为相应的一个样本值 点估计问题就是要构造一个适当的统计量 (X1,X2,.,Xn),用它的观察值(x1,x2,xn) 来估计未知参数0. (X,X2,.,X,)称为0的估计量)通称估计， (x1,x2,xn)称为0的估计值.简记为日

点估计问题的一般提法 , , , , . , . , , , ( ; ) 1 2 1 2 本 为相应的一个样本值 知 是待估参数 是 的一个样 设总体 的分布函数 的形式为已 n n x x x X X X X X F x     . ( , , , ) ˆ ( , , , ), ˆ 1 2 1 2    来估计未知参数 用它的观察值 点估计问题就是要构造一个适当的统计量 X X  Xn x x  xn ( , , , ) . ˆ  X1 X2  Xn 称 为 的估计量 ( , , , ) . ˆ  x1 x2  xn 称 为 的估计值 . ˆ , 简记为 通称估计   

概车纶与款理统外 二、估计量的求法 由于估计量是样本的函数，是随机变量，故 对不同的样本值，得到的参数值往往不同，如何 求估计量是关键问题. 常用构造估计量的方法：（两种） 矩估计法、最大似然估计法

二、估计量的求法 由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故 对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 如何 求估计量是关键问题. 常用构造估计量的方法: (两种) 矩估计法、最大似然估计法

概華论与款醒硫外 1.矩估计法 设总体X的分布中有待估参数0，(X1,X2,.,Xn) 是X的一个样本，X的阶矩为4E(X) 关于样本(X,X2,.,Xn)的样本阶矩为 429 并且己知A,P→4， 8(A1,A2,.A4)P→g(41,42,.4k)

1. 矩估计法 X X X X ( 1 2 , , , n ) X 设总体 的分布中有待估参数， 是 的一个样本， ( ) k X k E X 的 阶矩为k = 关于样本( X X X k 1 2 , , , n )的样本 阶矩为 1 1 n k k i i A X n = =  1 2 1 2 ( , , ) ( , , ) P k k P k k A g A A A g     ⎯⎯→ ⎯⎯→ 并且已知

概车纶与款理统外 矩估计基本方法： 1.用样本矩估计总体矩： E(X)=Hk=Ak 比如期塑的矩估计X)=A-∑X,=X

( ) k E X A = = k k 矩估计基本方法： 1.用样本矩估计总体矩： 1 1 1 ( ) n i i E X A X X n = 比如期望的矩估计 = = = 

概華论与款醒统外 例1：设总体X服从参数为p的(O,1)分布，抽取一 个容量为7的样本，其观察值为(0,1,0,0,1,0,1)，试 求参数p的矩估计量和矩估计值. 解：由X的期望E(X)p,而期望的矩估计E(X)=X 故的矩估计量为p=E(X)=X, 代入观察值得p的矩估计值为 卫=EX)=X=+1+0=号

例1：设总体X服从参数为p的(0,1)分布，抽取一 个容量为7的样本，其观察值为(0,1,0,0,1,0,1)，试 求参数p的矩估计量和矩估计值. 解：由X E X p 的期望 ( )= ，而期望的矩估计E X X ( ) = 故p p E X X 的矩估计量为 = = ( ) , 1 3 ( ) = (1 1 1) . 7 7 p p E X X = = + + = 代入观察值得 的矩估计值为

概车纶与款理统外 矩估计基本方法： 2.用样本矩的函数估计总体矩的函数： 若待估参数不是总体X的总体矩，但可以表示为 总体矩的函数0=(4,42.4) 则的矩估计为0=0(4,42.4k)=0(41,A,.A)

1 2 , ( , ) k  X      = 若待估参数 不是总体 的总体矩 但可以表示为 总体矩的函数 矩估计基本方法： 2.用样本矩的函数估计总体矩的函数： 1 2 1 2 ( , )= ( , ) 则       的矩估计为 = k k A A A

概華论与款醒统外 比如方差的矩估计： D(X)=(E(X2)-E2(X)=E(X)-E2(X) =%-42=4-4=2X-下 =}2x-X)x,x月

比如方差的矩估计： 2 2 2 2 D X E X E X E X E X ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) = − = − 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 n i i A A X X n   = = − = − = −  2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) n n i i i i X X X X n n = = = − = −  

棍丰伦与散程统针」 例2设总体X在[a,b]上服从均匀分布，其中a, b未知，(X1,X2,.,Xn)是来自总体X的样本，求a, b的矩估计量 解 4=E(X)=+b 27 =E(X)=D(X)+IE(X)(a-B)(a+by 12 n-1 ,a=42好 12 n i=1

. , ( , , , ) , , [ , ] , , 1 2 的矩估计量 未知 是来自总体 的样本 求 设总体 在 上服从均匀分布 其中 bb X X X X a X a b a  n 解 ( ) 1 = E X , 2 a + b = ( ) 2  2 = E X ( ) ( ) , 12 4 2 2 a b a + b + − = 2 = D(X) +[E(X)] , 1 2 1 1 = = = + ni Xi n A a b 令 2 2 2 4 ( ) 12 ( ) A a b a b = + + − , 1 1 2 = = ni Xi n 例 2