《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿，48学时）第七章 参数估计 第四节 区间估计

概率伦与散理统针」 第四节 区间估计 一、区间估计的基本概念 二、典型例题

第四节 区间估计 一、区间估计的基本概念 二、典型例题

概率论与敖理统计 一、 区间估计的基本概念 1.置信区间的定义 设总体X的分布函数F(x;)含有一个未知参 数0，对于给定值a(0<a<1),若由样本X1,X2,., X,确定的两个统计量 日=(X1,X2,Xm)和0=0(X1,X2,.,Xm)满足 P{0(X1,X2,Xn)<0<0(X1,X2,Xm)}=1-a, 则称随机区间(Q,8)是0的置信度为1-α的置信区 间，Q和分别称为置信度为1-a的双侧置信区间 的置信下限和置信上限，1-为置信度

一、区间估计的基本概念 1. 置信区间的定义 { ( , , , ) ( , , , )} 1 , ( , , , ) ( , , , ) , (0 1), , , , ( ; ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2                     n n n n n P X X X X X X X X X X X X X X X X F x      和 满足 确定的两个统计量 数 对于给定值 若由样本 设总体 的分布函数 含有一个未知参 ,1 . , 1 ( , ) 1 的置信下限和置信上限 为置信度 间 和 分别称为置信度为 的双侧置信区间 则称随机区间 是 的置信度为 的置信区           

概率论与数理统外 2.求置信区间的一般步骤（共3步） (寻求一个样本X1,X2,Xn的函数： Z=Z(X1,X2,.,Xm;0) 其中仅包含待估参数B,并且Z的分布已知 且不依赖于任何未知参数（包括0）. (2)对于给定的置信度1-a,定出两个常数a,b, 使P{a<Z(X1,X2,Xm)<b}=1-a

2. 求置信区间的一般步骤(共3步) ( ). , ( , , , ; ) (1) , , , : 1 2 1 2    且不依赖于任何未知参数 包括 其中仅包含待估参数 并且 的分布已知 寻求一个样本 的函数 Z Z Z X X X X X X n n    { ( , , , ; ) } 1 . (2) 1 , , , 1 2         P a Z X X X b a b 使  n 对于给定的置信度 定出两个常数

概率伦与散理统外 (3)若能从a<Z(X1,X2,.,Xm;θ)<b得到等价的 不等式0<0<0，其中 0=2(X1,X2,.,Xm) 0=0(X1,X2,.,Xm) 都是统计量，那么（但，0）就是O的一个置信度 为1-a的置信区间

1 . , ( , ) ( , , , ) ( , , , ), , (3) ( , , , ; ) 1 2 1 2 1 2 为 的置信区间 都是统计量 那么 就是 的一个置信度 不等式 其中 若能从 得到等价的                    n n n X X X X X X a Z X X X b   

概率伦与散理统针」 二、典型例题 例1设X1,X2,.,Xn是来自正态总体N(4,o2) 的样本，其中o2为已知，山为未知，求u的置信水平 为1-a的置信区间. 解因为又是μ的无偏估计， 且U=X-No,l oIn X-P~NO,I是不依赖于任何未知参数的， oIn

解 1 . , , , , , , ( , ) 2 2 1 2 为 的置信区间 的样本 其中 为已知 为未知 求 的置信水平 设 是来自正态总体        X X  Xn N 因为 X 是  的无偏估计, ~ (0,1), / N n X U    且  ~ (0,1) , / N 是不依赖于任何未知参数的 n X    例1 二、典型例题

概率论与散理统外 由标准正态分布的上α分位点的定义知 Po<imn-1-a. 即-<u<X+na时小-1-a

1 , / / 2               z n X P 1 , / 2 / 2                   z n z X n 即 P X 由标准正态分布的上 分位点的定义知

概率伦与散理统外「 于是得u的一个置信水平为1-a的置信区间 (x-+ 这样的置信区间常写成 (x±9n 其登信区间的长度为2×

, . 1 / 2 / 2                z n z X n X 于是得 的一个置信水平为 的置信区间 这样的置信区间常写成 . / 2          z n X 其置信区间的长度为 2 .  / 2  z n 

概率论与散理统计 例2设某工件的长度X服从正态分布N(4,16), 今抽9件测量其长度，得数据如下（单位：mm): 142,138,150,165,156,148,132,135,160. 试求参数4的置信水平为95%的置信区间. 解根据例2得的置信度为1-o的置信区间 x-x+a 由n=9,0=4,a=0.05,025=1.96,x=147.333知， 的置信度为0.95的置信区间为(144.720,149.946)

今抽9件测量其长度, 得数据如下(单位:mm): 142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160. 解 , , 2 1 / 2 / 2                z n z X n X 根据例 得 的置信度为 的置信区间 9, 4, 0.05, 1.96, 147.333 , 由n      z0.025  x  知 的置信度为0.95的置信区间为(144.720, 149.946). 设某工件的长度 X 服从正态分布 N(,16), 试求参数 的置信水平为95％的置信区间. 例2