山东理工大学：《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 n阶行列式 1-3 n阶行列式的计算

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第三节 n 阶行列式的计算

一、行列式计算 计算行列式常用方法： 1、利用性质，特别是性质1.2.5把行列式化为上（下）三角 形行列式，从而，较容易的计算行列式的值. 2、利用性质，把行列式化为某一行（列）只有一个非0数 从而，利用定理1.2.1的推论较容易的计算行列式的值. 3、利用递推公式或利用数学归纳法求解， 数值型行列式注意： 1)避免分数运算2)化繁就简3)尽可能用1化零

计算行列式常用方法: 一、行列式计算 1、利用性质,特别是性质1.2.5把行列式化为上(下)三角 形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值． 2、利用性质, 把行列式化为某一行（列）只有一个非0数, 从而,利用定理1.2.1的推论较容易的计算行列式的值． 3、利用递推公式或利用数学归纳法求解． 数值型行列式注意： 1)避免分数运算 2)化繁就简 3)尽可能用1化零

@少本r子大￥ 方法1：化为上三角形行列式： 2 3 -3 3 -7 例1D= 23 0 4 -2 5 1 -14 1-12 3 1 -1 2 -3 0 0 -1 0 ,+3 ⊕0 0 -1 0 2 0 4 -2 0 2 0 4 3 5 7 -14 3 5 7

例１ 1 1 2 3 3 3 7 9 2 0 4 2 3 5 7 14 − − − − = − − D 2 1 1 1 2 3 0 0 1 0 3 2 0 4 2 3 5 7 14 − − − + − − r r 方法1：化为上三角形行列式： (− 2)  1 1 2 3 0 0 1 0 0 2 0 4 3 5 7 14 − − − = − 3 

-1 2 -3x-3) 二 0 0 -1 0 0 2 0 4 ⊕ 3 5 7 -14 1-1 2 -3 1 -1 2 -3 +3r 02 0-1 0 2→5 0 2 0 02 0 4 0 0 1 40 08 5 0 8 1 上页

(− 3)  1 1 2 3 0 0 1 0 0 2 0 4 3 5 7 14 − − − − = 4 1 r r +3 1 1 2 3 0 2 0 4 0 0 1 0 0 8 1 5 − − − − − r r 2 3  1 1 2 3 0 0 1 0 0 2 0 4 0 8 1 5 − − − −

@少本T子大￥ 1 -1 2-3 10204×(4) 0 0 -10 081 -5 1 -1 2 -3 2 4-43 r4+3 0 2 0 4 2 4 0 -1 0 0 0 0 1 -21 0 0 42 上页 返回

4 2 r r − 4 1 1 2 3 0 2 0 4 0 0 1 0 0 8 1 5 − − − − −  −( 4)  1 1 2 3 0 2 0 4 0 0 1 0 0 0 1 21 − − − − − 1 1 2 3 0 2 0 4 0 0 1 0 0 0 0 21 − − − − − −42 4 3 r + r

练习题： 1 2 0 1 1 3 5 0 1、计算行列式 D- 0 1 5 6 1 22 3 4 1 2 0 1 0 1 0 1 5 1 5 -1 D 0 0 1 6 0 1 5 6 1 2 3 0 3 3 1 2 0 1 1 2 0 1 5- 1 5 -1 分n = 00 1 -1 0 -21 0 0 7 3 3 0 0 3 3 0 0 0 7 上页

1 2 0 1 1 3 5 0 0 1 5 6 1 2 3 4 1 、 计算行列式 D = 2 1 1 2 0 1 0 1 5 1 0 1 5 6 1 2 3 4 − − = r r D 3 4 1 2 0 1 0 1 5 1 21 0 0 3 3 0 0 0 7 r r  − = − = − 练习题： 4 1 1 2 0 1 0 1 5 1 0 1 5 6 0 0 3 3 − − = r r 3 2 1 2 0 1 0 1 5 1 0 0 0 7 0 0 3 3 − − = r r

1 -1 1 x-1 @少本T子大￥ 例2：计算 1 -1 x+1 -1 1 x-1 1 -1 x+1 0-1 1 -1 1 -11 x一1 I-K 0 0 解 x -x i=2,3,4 0 0 x 00 1 -1 c+∑s 0 i=1,2,3 0 00 0 0 0 上页 这回

例2:计算 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x − − − + − − − + − − 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 x x x x x x x − − − − − 1 2,3,4 i r r D i − = 解 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x − 4 1,2,3 i c c i + =  4 = x

方法2：化一行中只有一个非0项 3 1 例3：计算行列式D = 5 21 10 1313 24- 5 3 11 解：D +(2 C4+C3 -0-0 -5 -5 5 11 5-1 =(-1)3+3 -11 2+i -5 -5 0 公人 0 =(-1)+3 二6 25 80 =40. 上页

. 1 5 3 3 2 0 1 1 5 1 3 4 3 1 1 2 − − − − − − D = 5 5 3 0 0 0 1 0 11 1 3 1 5 1 1 1 − − − − − ( ) 1 2 3 c + − c 4 3 c + c 例3: 计算行列式 解: D 5 5 0 11 1 1 5 1 1 ( 1) 3 3 − − = − + − − 5 5 0 6 2 0 5 1 1 − − − 5 5 6 2 ( 1) 1 3 − − − = − + 0 5 8 2 − − = = 40. 2 1 r + r 方法2：化一行中只有一个非0项

1 1 2 3 例4设多项式 1 2-x2 2 3 f(x)= 2 3 1 5 2 3 1 9-x2 试求f(x)=0的根。 解略 上页 这回

2 2 1 1 2 3 1 2 2 3 ( ) 2 3 1 5 2 3 1 9 x f x x − = − 例4 设多项式 解略 试求f(x)=0的根

a b b b 例5 计算n阶行列式 b a b b D- b b b b bb 解 将第2,3，n列都加到第一列得 a+(n-1)b b b b a+(n-1)b a b b D= a+(n-1)b b b a+(n-1b b b

例5 计算 n 阶行列式 b b b a b b a b b a b b a b b b D          = 解 ( ) ( ) ( ) a (n )b b b a a n b b a b a n b a b b a n b b b b          1 1 1 1 + − + − + − + − D = 将第 2,3,  ,n 列都加到第一列得