山东理工大学：《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 矩阵的运算 3-4 分块矩阵

P85征明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对 称阵之和. 证明 设C=A+A 则CI=(A+A)=AW+A=C, 所以C为对称矩阵， 设B=A-A', 则B=（A-A)=AP-A=-B, 所以B为反对称矩阵， A=4+A B 2 2 2+ 命题得证

证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵与反对 称阵之和. n A 证明 A A T = + = C, 所以C为对称矩阵. A A T = − = −B, 所以B为反对称矩阵. 2 2 T T A A A A A − + + = , 2 2 C B = + 命题得证. P85/11 T 设 C A A = + ( ) T T T 则 C A A = + , T 设 B A A = − ( ) T T T 则 B A A = −

@少本理工大军 课前复习 逆矩阵的定义若AB=BA=E,则称矩阵A是可逆的。 定理 矩阵A可逆的充要条件是A≠0且 个：行其中为矩库A的件萄矩阵 当A附，A称为奇异矩阵； 当A附，A称为非奇异矩阵. 上页 回

课前复习 逆矩阵的定义 AB BA E = = , 则称矩阵Ａ是可逆的。 定理 矩阵Ａ可逆的充要条件是 A  ，且 0 1 1 A A , A −  = A 其中  为矩阵Ａ的伴随矩阵. 当 A = 时， 0 Ａ称为奇异矩阵； 当 A  时， 0 Ａ称为非奇异矩阵. 若

运算规律（设AB均是n阶方阵） 1)若A→(4)3，且(4)=A. 2)若3，*0→(1，且()'= 3)若A3,B3,且A,国阶，→(AB)3, 且(AB)=B1 推广(A4.A)=A1.AA 4)若4ョ→(4)'，且(4)'=()y 5)若A3→4=4 上页

运算规律 （设ＡＢ均是ｎ阶方阵） 1 A −  ( ) 1 1 A , − − 1）若   ( ) 1 1 A A. − − 且 = ( ) 1 A , −   1 A , 0  − 2）若   ( ) 1 1 1 A A .  − − 且 = ( ) 1 AB , −   1 1 A B, − − 3）若   ，且 A B, 同阶， 推广 ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 . A A A n n A A A − − − − = ( ) 1 , T A −   1 A − 4）若  ( ) ( ) 1 1 . T T A A − − 且 = 1 A −  = 1 A − 5）若  ( ) 1 1 1 AB B A − − − 且 = 1 A −

6)若3，÷(，且(-()- 7)其它的一些公式 AA=A'A=AE 4=447 =4 A=A(A）. 上页 区回

7）其它的一些公式 n 1 A A  − = AA A A A E   = = ( ) 1 A A A . −  = 1 A A A  − = 1 A , − 6）若  ( ) 1 A , −    ( ) ( ) 1 1 . A A A A −   − 且 = =

逆矩阵的求法 ©少东X工大军 一次初等变换 1.单位矩阵 初等矩阵. 2.利用初等变换求逆阵的步骤是： ①构造矩阵4E域分 (2)对(A:E)施行初等行变换，将A化为单位矩阵E 后，右边E对应部分即为（或对 施行初等列 变换，将A划为单位阵E后，E对应部分即为A1

1. 单位矩阵 初等矩阵. 一次初等变换 2. 利用初等变换求逆阵的步骤是: (1) ( ) ;      E A 构造矩阵 AE 或 ( ) ( ) , , . , ( 2 , 1 1 − −       A E E A E A E A A E A E 变换 将 划为单位阵 后 对应部分即为 后 右边 对应部分即为 或对 施行初等列 对  施行初等行变换 将 化为单位矩阵 逆矩阵的求法

⑤少东X工大军 第四节矩阵的分块法 一矩阵的分块 三分块矩阵的运算法则 三小结 上页 返回

矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算 经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运 算.具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成 许多个小矩阵，每一个小矩阵称为子块，以子块为 元素的形式上的矩阵称为分块矩阵： 例 0 0 B 100 A= 即A= 1 0 B

              = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算， 经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运 算. 具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成 许多个小矩阵，每一个小矩阵称为子块，以子块为 元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. , 3 2 1           = B B B 例               A = a 1 0 0 0 0 0 1 0 1 a b 0 1 1 b           = B1 B2 B3 即

⑤山东理工大军 0月 E B.) :0 A- =(4A,4A), 0 注：分块时首先满足E,再考虑对角或三角矩阵 然后考虑以及其它的特殊矩阵. 按行分块或按列分块是两种特殊的分块形式： 湖回

1 1 , A O E B   =     ( ) 1 2 3 4 = A A A A ,               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 A1 E B1 O A1 A2 A3 A4 注：分块时首先满足 E ，再考虑对角或三角矩阵， 然后考虑 O 以及其它的特殊矩阵. 按行分块或按列分块是两种特殊的分块形式

分块矩阵的运算规则 分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似. 1、矩阵的加法 设与为同型矩阵，采用相同的分块法，有 4,+B 4+B= 中A与 为同型矩阵。 2、 数 AAr 4= : A A1 A

11 11 1 1 1 1 . r r s s sr sr A B A B A B A B   + +   =     + +   11 1 11 1 1 1 r r s sr s sr A A B B A B A A B B         + = +             二、分块矩阵的运算规则 1、矩阵的加法 设 A 与 B 为同型矩阵，采用相同的分块法，有 其中 与 为同型矩阵. Aij Bij 分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似. 11 1 1 , , r s sr A A A R A A      =        2、数乘 11 1 1 . r s sr A A A A A          =       则

乘法 设 Anw1,B,分块成 A- 8罗 A B 其中A1,A,2,的列数分别等于 B的吃数，B 那么 . AB= 其钟C,=4B,(=1,=h小 回

3、乘法 设 A B m l l n   , ，分块成 11 1 11 1 1 1 , , t r s st t tr A A B B A B A A B B         = =             其中 的列数分别等于 的行数. 1 2 , , , A A A i i it 1 2 , , , B B B j j tj 11 1 1 r s sr C C AB C C     =       1 t ij ik kj k C A B = 其中 =  (i s j r = = 1, , ; 1, , .) 那么