《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）5.2 中心极限定理

第二节 中心极限定理 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题

第二节 中心极限定理 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题

一、问题的引入 1.背景：由大量的、独立的、随机的因素综合影响形成的随机 变量，其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都很微小， 这样的随机变量服从什么分布？ 例如：考察射击命中，点与靶心距离的偏差. 偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和， 这些因素包括：瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方 面的误差、以及射击时武器的振动、气象因素的作用， 所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的，并 且它们中每一个对总和产生的影响不大. 2.中心极限定理的结论：大量随机变量的和近似服从正态分布 或大量随机变量之和的标准化变量近似服从标准正态分布

一、问题的引入 这些因素包括：瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方 面 的误差、以及射击时武器的振动、气象因素的作用， 例如：考察射击命中点与靶心距离的偏差. 偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和. 所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的, 并 且它们中每一个对总和产生的影响不大. 1. 背景：由大量的、独立的、随机的因素综合影响形成的随机 变量，其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都很微小， 这样的随机变量服从什么分布？ 2. 中心极限定理的结论：大量随机变量的和近似服从正态分布 或 大量随机变量之和的标准化变量近似服从标准正态分布

二、基本定理 独立同分布 定理1（独立同分布的中心极限定理） 期望、方差已知 设随机变量X1,X2,Xm,.相互独立，服从同一分布，且 具有数学期望和方差：E(X)=4,D(Xk)=o2>0(k=1,2,), 则随机变量之和∑X的标准化变量近似~N0,) k=1 ∑-EX)2x k=1 的分布函数F(x) VDx) 对于任意x满足 e2d=Φ(x). 11-→00 2 (证明略)

二、基本定理 定理1（独立同分布的中心极限定理） 近似~N(0,1) 1 1 1 1 ( ) ( ) n n n k k k k k k n n k k X E X X n Y n D X   = = = = − − = =     1 2 2 , , , , ( ) , ( ) 0 ( 1,2, ), n k k X X X E X D X k = =  =   设随机变量 相互独立，服从同一分布，且 具有数学期望和方差： 1 lim ( ) lim n k k n n n X n F x P x n   = → →   −     =           2 2 1 d ( ). 2π t x e t x − − = =   ( ) F x n x 的分布函数 对于任意 满足 1 n k k X = 则随机变量之和 的标准化变量 独立同分布 期望、方差已知 （证明略）

定理1表明： 若E(X)=4,D(X)=o2>0(K=1,2,),当n充分大时， x.-E2x,)X-n4 近似 (①)Y=每 N(0,1). nG x (2) 含“NMa以 近似 ≈N(0,1)i olyn- 3)记X=之x,则xNμ)

定理1表明: 当n充分大时， 2 X N ~ ( , ) n   近似 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) n n n k k k k k k n n k k X E X X n Y n D X   = = = = − − = =     （ ） ~ (0,1), / X N n   − 近似 2 ~ N n n ( )   , . 近似 1 2 n k k X = （ ）  1 1 3 n k k X X n = （ ）记 =  ，则 ~ N(0 1). , 近似 2 ( ) , ( ) 0 ( 1,2, ), 若 E X D X k k k = =  =  

独立不同分布的 定理2（李雅普诺夫定理yapunov)) 中心极限定理 设随机变量X,X2,Xn,.相互独立，它们具有数学期望和 方益：EX,)=4,DX,)-o0W=l2-克B- 若春在正数6俊得B2E,-A)=从 则随机变量之和∑X的标准化变量近似~N(0,) k=1 盆 的分布函数F,(x)对于任意x 2 B Zx. 满足limF,(x)=limP k=1 1→0 √2元 (证明略)

定理2 (李雅普诺夫定理 Lyapunov) 2 2 2 1 1 2 , , , , , ( ) , ( ) 0 ( 1,2, ), , n k k k n k n k k X X X E X D X   k B   = = =  = =  设随机变量 相互独立 它们具有数学期望和 方差: 记 若存在正数 ， 使得   2 2 1 1 lim | | 0. n k k n n k E X B    + →  + =  − = 1 n k k X = 则随机变量之和 的标准化变量 1 1 1 n n k k k k n n k k X E X Z D X = = =   −     =          1 1 n n k k k k n X B  = = − =   ( ) 的分布函数 F x x n 对于任意 1 1 lim ( ) lim n n k k k k n n n n X F x P x B  = = → →   −     =            满足 2 1 2 d ( ). 2π t x e t x − − = =   独立不同分布的 中心极限定理 近似~N(0,1) （证明略）

定理2表明： 无论各个随机变量X1,X2,.,Xm,.服从什么分布， 只要满足定理的条件，那么它们的和∑X当n很大时， 近似地服从正态分布. (如实例中射击偏差服从正态分布)

定理2 表明: 1 1 2 , , , , . , n k k X n X n X X =  无论各个随机变量 服从什么分布 只要满足定理的 当 很大时， 近似地 条件，那么它 服从正 的和 态分布 们 (如实例中射击偏差服从正态分布)

二项分布的 定理3棣莫弗-拉普拉斯De Moivre一Laplace) 中心极限定理 设随机变量nm~b(n,p),n=1,2,.则对于任意x, 品小-云山o 证明：设X,=0,若在第k次试验中4怀发生， 1,若在第k次试验中A发生，k=1,2, 其中，X,X2,X。独立同(0,1)分布，则n=∑X E(nn)=p,D(nm)=np(1-p)(k=1,2,nm), 根据定理1得 2x.-Mp lim P =e2dt=Φ(x) n-→ √p(1-p) n-→o √pI-p) nm的标准化变量) 近似-N(0,1)

2 2 1 lim d ( ). (1 ) 2π ~ ( , ) 1,2, . t n n n n x b n p P x e t x np p  p n x  − →  −     −    = =    −  =   设随机变量 ， 则对于任意 ， 恒有 定理3 棣莫弗-拉普拉斯(De Moivre－Laplace) 证明: ( ) , E np n = ( ) (1 ) ( 1,2, , ), D np p k n n = − = 根据定理1得 lim (1 ) n n np P x np p  →      −    =   −   1 lim (1 ) n k k n X np P x np p = →    −        −      2 2 1 d ( ). 2π t x e t x − − = =   1 2 n 其中，X X X , ,., 0 1 独立同（ ，）分布， 1 , n n k k  X = 则 =  0, , 1, , 1,2, . k k A X k A k  =   = 若在第 次试验中 不发生 设 若在第 次试验中 发生 二项分布的 中心极限定理 近似~N(0,1) n的标准化变量

定理3表明： 正态分布是二项分布的极限分布，当充分大时，可 以利用该定理来计算二项分布的概率 应用：设随机变量nn~b(n,p),n=1,2,. 则当n充分大时有： p小-《器器 1√pg -

定理3表明: 正态分布是二项分布的极限分布，当n充分大时，可 以利用该定理来计算二项分布的概率. 应用： ~ ( , ) 1,2, . n 设随机变量 b n p n ， = 则当n充分大时有：   ( ) ( ) n n a np b np np P a b P npq npq npq b np a np npq npq       − − −   =         − −   − 

例1.一加法器同时收到20个噪声电压V(化=1,2，.20)，设它们 是相互独立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布， 记/-=2y,求PΨ>105}的近似值 解 QEW)=5,Dy月=k=12L,20, 由定理1 2-2力 V-20×5 V-100 12.91 P2 近似~N(0,1) Pw>Is=p'0>5,-37 12.91 =1-P20s0387)a1-00.387)=0348

解 ( ) 5, Q E Vk = 100 ( ) ( 1,2, ,20). 12 D V k k = = L 由定理 1 20 20 1 1 201 ( ) ( ) k k k i k i V E V Z D V = = = − =   20 5 100 20 12 V −  = 201 20 ( 1,2, 20), (0,10) , { 105} . 1. k k k V k V V P V = = =  一加法器同时收到 个噪声电压 设它们 是相互独立的随机变量，且都在区间 上服从均匀分布 记 ，求 的近似值 例   = P V{ 105} 100 100 1 12.91 12. 5 91 0 { } V P − −  100 12.91 { 0.387} V P − =  100 12.91 1 { 0.387} V P − = −   −  1 (0.387) = 0.348. 近似 ~N(0,1) 100 12.91 V − =

(题型1总结) 求PX=∑X,e 题目要求计算与“总和”、“总额”、“平均”等有关的概率 1、设出独立（不）同分布的X,X2,X3,.,X.并求出EX),DX) 2x,-E2X) 2、由定理： 近似服从N(0,1) 知空ve

题目要求计算与“总和”、“总额”、.“平均”等有关的概率. 1、设出独立(不)同分布的X1 , X2 , X3 , ., Xn 并求出E(Xi )，D(Xi ) 1 1 1 ( ) 2 (0,1) ( ) n n i i n i i i i E X N D X X = = = −  、由定理： 近似服从 1 n i i P X L =        求  （题型1总结） —— 求 1 { } n i i P L X X = =  