《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）4.1 数学期望

第四章随机变量的数字特征 数字特征：由随机变量的分布所确定的，能够刻画随机 变量某一方面的特征的常数， 如：随机变量取值的平均值： 随机变量取值与其平均值的偏离程度等 常用的数字特征：数学期望、方差、相关系数、矩！

第四章 随机变量的数字特征 数字特征：由随机变量的分布所确定的，能够刻画随机 变量某一方面的特征的常数. 如： 随机变量取值的平均值； 随机变量取值与其平均值的偏离程度等. 常用的数字特征： 数学期望、方差、相关系数、矩

第一节数学期望(Expectation) 一、随机变量的数学期望 二、常见分布的数学期望 三、随机变量函数的数学期望 四、数学期望的性质

第一节 数学期望(Expectation) 一、随机变量的数学期望 二、常见分布的数学期望 三、随机变量函数的数学期望 四、数学期望的性质

一、随机变量的数学期望 引例一射手进行打靶练习，规定射入区域，得2分，射入 区域e1得1分，脱靶即射入区域e,得0分.随机变量X是射手一 次射击的得分数。 现在射击N次，其中得0分的有n次，得1分的有41次，得2 分的有a2次，+a1+2=N,求平均一次射击的得分数。 解：平均一次射击的得分数为 0+1+n2-2号 N e eo No—∑kp 其中Pk=P{X=k},k=0,1,2,为X的分布律

一、随机变量的数学期望 引例 一射手进行打靶练习，规定射入区域 2 e 得 2 分，射入 区域 1 e 得 1 分，脱靶即射入区域 0 e 得 0 分. 随机变量 X 是射手一 次射击的得分数。 0 1 2 a a a 0 1 2 N  +  +  2 e 1 e 0 e 现在射击 N 次，其中得 0 分的有 0 a 次，得 1 分的有 1 a 次，得 2 分的有a2次，a0 + a1 + a2 = N ，求平均一次射击的得分数。 2 0 . k k a k = N =  解：平均一次射击的得分数为 N →  2 0 k k k p =   { }, 0,1,2 k 其中 p P X k k = = = ，为X的分布律

1、离散型随机变量的数学期望 定义离散型随机变量X的分布律为P{X=x}=P,k=1,2, 若级数∑xP:绝对收敛，则称级数∑xP,的和为随机变量X的 k=] 数学期望，记为E(X). 即 数学期望简称期望，又称为均值.又称某一分布的数学期望 说明：（山EX是一个实数，而非变量。它是一种加权平均， 与一般的算术平均不同. (2)等概率分布时，X的期望值与算术平均值相等， (③)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次 序的改变而改变

X { } , 1,2, 定义 离散型随机变量 的分布律为P X x p k = = = k k 1 1 ( ). k k k k k k x p x p X E X   = = 若级数  绝对收敛，则称级数 的和为随机变量 的 数学期望，记为 1 ( ) k k k E X x p  = 即 =  (1) E(X)是一个实数，而非变量。它是一种加权平均， 与一般的算术平均不同. (2) 等概率分布时, X 的期望值与算术平均值相等. (3) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次 序的改变而改变。 说明： 1、离散型随机变量的数学期望 数学期望简称期望，又称为均值. 又称某一分布的数学期望

2.连续型随机变量数学期望的定义 设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分 ∫xfx)dx绝对收敛，则称积分∫nxf(x)dx的值为 随机变量X的数学期望，记为E(X).即 E(X)=Jxf(x)dx

2. 连续型随机变量数学期望的定义 ( ) ( )d ( )d ( ). X f x x f x x x f x x X E X     − − 设连续型随机变量 的概率密度为 ，若积分 绝对收敛 数学期望， ，则称积分 的值为 随机变量 的 记为 即 E X x f x x ( ) ( )d .  − = 

例2有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 X(k=1,2)服从同一指数分布，其概率密度为 okea 若将两个电子装置串联组成整机，求整机寿命（单位：小时） N的数学期望。 解：分布函数为 o- x>0. 0 其他 N的分布函数为Fmn(x)=1-[ w-ew - >0 )so 0 x≤0

例 2 有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 ( 1,2) X k k = 服从同一指数分布，其概率密度为 1 0 ( ) 0 x e x f x    −   =    其他 （  0）， 若将两个电子装置串联组成整机，求整机寿命（单位：小时） N 的数学期望。 解：分布函数为 2 / 1 0 , 0 0 x e x x −   −  =    min F x( ) 2 = − − 1 [1 ( )] F x 1 0 ( ) , 0 x F x e x   −  −  =   其他 N的分布函数为 2 / min 2 0 ( ) , 0 0 x e x f x x    −    =     min E N x f x dx ( ) ( )  −  =   . 2  = 2 / 0 2 x x e dx    − =   2 2 (2) 2     =       1 0 d ( ) ( , 0) x x e x        +  − − =    

二、常见分布的数学期望 1°若X服从参数为p的(0-1)分布，则EX=p. 2°若X~b(n,p),则E(X)=np. 证：E)-2W=-2cp 2cp-264八2uwr 2c台qt=p2cn i=k-1 mpCppy=wp. i=0

二、常见分布的数学期望 证: 1º 若 X 服 从参数为 p 的(0-1)分布，则 E(X) =p . 2º 若 X~b(n, p)， 则 E(X) =n p. E X( ) 1 1 1 = k n k n k k n p q Cn − = −  − 0 n k k n k n k kC p q − = =  1 n k k n k n k kC p q − = =  1 1 1 1 n k k n k n k np C p q − − − − = =  = np. 0 { } n k kP X k = = =  1 ! ! ( )! n k n k k k p q n k n k − = =   − 1 ( 1)! ( 1)! ( )! n k n k k n k k n p q n − =  = −  −  − 1 ( )n np p q − = + 1 ( 1) 1 0 1 n i i n i n i i k np C p q − − − − = = − 

30 Poisson分布的数学期望 设X-2,Px=k=2e4,k=0.12,2>0 k! w-2-如20=ce= (k-1):

3 0 Poisson分布的数学期望 { } , 0,1,2, , 0 ! k P X k e k k    − = = =  0 ! k k k e k E X    − = （ ）=  ( ) 1 1 1 ! k k e k     − − = = −  e e     − =  = 设X ~ ( )  

40均匀分布的数学期望 设随机变量X~U[a,b],则 Eow-wa-j'。-生 2 50指数分布的数学期望 设随机变量X服从参数为日的指数分布，则 -了sk=rg=jea=g

4 0 均匀分布的数学期望 设随机变量 X U a b ~ [ , ] ，则 E X xf x dx ( )  − = （ ）  1 2 b a a b x dx b a + =  = −  5 0 指数分布的数学期望 设随机变量X服从参数为的指数分布，则 E X xf x dx ( )  − = （ ）  0 1 x x e dx    − =  0 t   te dt  − = = 

6°正态分布的数学期望X~N(4,o)[EX三 (x-4) 0w-jww-a 安m 4jei= +r

6 0 正态分布的数学期望 2 X N~ ( , )   2 2 ( ) 2 ( ) 2 x x E X xf x dx e dx       − − − − = = （ ）   2 2 1 ( ) 2 t   t e dt   − − +  2 2 2 2 1 2 2 t t te dt e dt        − − − − = + =   x t   − = E X( ) = 