《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）7.3 估计量的评选标准

第三节估计量的评选标准 一、无偏性 二、有效性 三、相合性* 对于同一个参数，用不同的估计方法求出的估计量可 能不相同. 问题哪一个估计量的更好？一一评价三个基本标准

第三节 估计量的评选标准 一、无偏性 二、有效性 三、相合性* 对于同一个参数， 用不同的估计方法求出的估计量可 能不相同. 问题 哪一个估计量的更好? ——评价三个基本标准

一、无偏性 若X1,X2,Xn为总体X的一个样本，0∈日是包含 在总体X的分布中的待估参数，（⊙是日的取值范围） 若估计量日=0X1,X2,.,Xm)的数学期望E(⊙)存在， 且对于任意0∈⊙有E(日)=日，则称0是0的无偏估计量. 估计的系统误差：E()-0 说明：（1)无偏估计的实际意义就是无系统误差。 (2)某一参数的无偏估计量不是唯一的

一、无偏性 1 2 , , , , ( ) X X X X n X      若 为总体 的一个样本， 是包含 在总体 的分布中的待估参数 是 的取值范围 说明： （1）无偏估计的实际意义就是无系统误差。 （2）某一参数的无偏估计量不是唯一的。 估计的系统误差： ˆ E( )  − 1 2 ˆ ˆ ( , , , ) ( ) , ˆ ˆ ( , ) . X X X E n E         =   = 若估计量 的数学期望 存在 且对于任意 有 则称 是 的无偏估计量

例1设总体X的k阶矩4=E(X“)(k≥1)存在，又设X1,X2,Xm 是X的一个样本，试证明不论总体服从什么分布， k阶样本矩A=∑X是人阶总体矩4的无偏估计量. n i-1 证因为X,X2,.,Xn与X同分布， 所以X,X,.,X与X同分布， ∴.E(X)=E(X)=4k,i=1,2,.,n. E4)=2E(X)=4 n i-1 故k阶样本矩A是k阶总体矩山的无偏估计量

1 1 2 1 ( ) ( 1) , , 1 , . , n k k i k i k X k E X k X k n X k A X k X n  X  = = =   设总体 的 阶矩 存在，又设 是 的一个样本，试证明不论 例 阶样本矩 是 阶总 总体服从什么分 体矩 的无偏估计量 布 证 1 2 , , , 因为X X X X n与 同分布， ( ) ( ) k k  = E X E X i , 1,2, , . k = =  i n 1 1 ( ) ( ) n k k i i E A E X n =  =  . = k . k k 故 k A k 阶样本矩 是 阶总体矩  的无偏估计量 1 2 , , , n k k k k 所以 X X X X 与 同分布

例。对于均值山，方差σ2>0都存在的总体，若山，σ均为未知. 则（①样本均值了=上X,是山的无偏估计量. n i=1 日州本方爱s=习代-是可的无倍估计老 (③)样本2阶中心矩B,=∑(X,-}不是。2的无偏估计量. 证os-2x-对-空- “EX)=4=G+2,EX')=DX+E(XP-C+, Es')=29)-E() g+-a]

2 2 例. 对于均值    , 0 , . 方差  都存在的总体 若 , 均为未知 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 . 1 2 ( ) . 1 1 3 2 ( ) . n i i n i i n i i X X n S X X nB X X n    = = = = = − − = − 则 （ ）样本均值  是 的无偏估计量 （ ）样本方差 是 的无偏估计量 （ ）样本 阶中心矩 不是 的无偏估计量 证 2 2 2 2 1 1 1 1 2 ( ) 1 1 n n i i i i S X X X nX n n = =   = − = −   − −   （ ）   2 2 ( ) E Xi =  2 2 = +   , 2 2 E X D X E X ( ) ( ) [ ( )] = + 2 2 , n  = +  2  = ( ) E S 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 n i i E X nE X n =   −   −    2 =  . 2 1 2 2 2 ( ) ( ) 1 n n n n       = + − +   −  

二、有效性 无偏估计量的观察值0与真值(=E()的偏离程度的越小越好. 方差是随机变量的取值与其数学期望的偏离程度的度量. 当样本容量相同时，无偏估计量的方差越小越好. 定义设0=日，(K1,X2,Xn)与02=0X1,X2,Xn)都 是0的无偏估计量，若对于任意日∈⊙（⊙是的可能取值范围）， 有D(0)≤D(⊙，)，且至少有一个0∈⊙使上式中的不等号成立， 则称0，较日，有效

二、有效性 定义 设 1 1 1 2 ˆ ˆ ( , , , )   = X X Xn 与 2 ˆ  = 2 1 ˆ  ( , X 2 X , , ) Xn 都 是 的无偏估计量，若对于任意  (是的可能取值范围）， 有 1 2 ˆ ˆ D D ( ) ( )    ，且至少有一个 使上式中的不等号成立， 则称 1 2 ˆ ˆ   较 有效. 方差是随机变量的取值与其数学期望的偏离程度的度量. ˆ ˆ 无偏估计量的观察值   与真值 ( ( )) . = E 的偏离程度的越小越好 当样本容量相同时，无偏估计量的方差越小越好

补例设X1,X2,X3为来自总体X的简单随机样本，E=u, D)=0,下列统计量哪个是μ的无偏估计量？哪个更有效？ -x+xa-x+x+时x.a-x+子xx. 3 3 解：@)=x+1-=(X+0K,)=h E0)=3E(X)+}E(X,)+Ex,)=a F0,+号-g4 3- Da)=D(X)+)DX,)+号DX,)=o213, D(日)>D(⊙)，所以8，更有效

补例 设 X1,X2,X3 为来自总体 X 的简单随机样本 ，E(X)=μ， D(X)=σ 2，下列统计量哪个是 μ 的无偏估计量？哪个更有效？ 1 1 2 1 1 ˆ 2 2  = + X X ， 2 1 2 3 1 1 1 ˆ 3 3 3  = + + X X X ， 3 1 2 3 1 2 1 ˆ 2 3 3  = + − X X X 。 1 ˆ E( )  1 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 = + E X E X = , 1 2 1 1 [ ] 2 2 = + E X X 2 ˆ E( )  = , 1 2 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 3 3 3 = + + E X E X E X 解: 3 ˆ E( )  5 , 6 1 2 3 =  1 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 3 3 = + − E X E X E X 1 2 ˆ ˆ 故 , 为无偏估计量， 1 ˆ D( )  1 2 1 1 ( ) ( ) 4 4 = + D X D X 2 , 2  1 2 = 1 1 [ ] 2 2 = + D X X 2 ˆ D( )  2 =  / 3, 1 2 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 9 9 9 = + + D X D X D X 又因为 1 2 ˆ ˆ D D ( ) ( )    ， 2 ˆ 所以 更有效

内容小结 估计量的标准 L.无偏性÷E(0)=0. 2.有效性台D(⊙)<D(O,).(前提：E()=E(⊙，)=0) 3.相合性*（一致性）台0e⊙，0P→0(n→o时). 结论： (1)样本k阶矩是总体阶矩的相合估计量， （(2)样本矩的连续函数是相应的总体矩的连续函数的相合估计量

内容小结 估计量的标准 ˆ 3. * p 相合性 （一致性）    ⎯⎯→ →     ， （n 时）. 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2. ( ) ( ). ( ( ) ( ) ) 有效性   = = D D E E      前提： ˆ 1. ( ) . 无偏性  = E   （1）样本k阶矩是总体k阶矩的相合估计量. （2）样本矩的连续函数是相应的总体矩的连续函数的相合估计量. 结论：

作业 P174 10,12

作 业 P174 10，12