山东理工大学：《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 n阶行列式 1-2 行列式的性质

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第二节 n 阶行列式的性质

⑥少本州3大￥ 课前复习 au 12 3 D= 21 22 l23 =41.23+012023031+014232 -01342031-01i232-01221L3 a31 32 33 =411A1+02A2+03A3 =021A1+42A2+023A3 %11 12 =∑a,4 22 j=1 D =∑(-1(.p =∑(-1)0n12.0pa

11 22 33 12 23 31 13 21 32 = a a a + a a a + a a a 13 22 31 11 23 32 12 21 33 − a a a − a a a − a a a 课前复习 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a D a a a = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a D a a a a a a = 1 1 1 . n j j j a A = = ( 1 2 ) 1 2 1 2 ( 1) n n p p p p p np a a a  = −  ( ) 1 2 1 2 1 . n p p p n a a a  = −  11 11 12 12 13 13 = + + a A a A a A 21 21 22 22 23 23 = + + a A a A a A

少东大 、行列式按行（列）展开法则 定理1.2.1：行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即 》=a+e++aw-a,4 D=a4+ait-.+aa=au4u (i=1,2,.,n) D=a11A11+a12A12+.+a1nA1n(i=1) =2421+22A22+.+2mA2n(i=2) =anlAnl+an24n2++aonAnn

定理1.2.1: 行列式等于它的任一行(列)的各元素 1 n ki ki k a A = =  ( i =1, 2, ···, n) D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ··· + ainAin D = a1iA1i+ a2iA2i + ··· + aniAni 与其对应的代数余子式乘积之和, 即 一、行列式按行（列）展开法则 1 n ik ik k a A = =  D = a11A11 + a12A12 + ··· + a1nA1n = a21A21 + a22A22 + ··· + a2nA2n = ···= an1An1 + an2An2 + ··· + annAnn ( i =1) ( i =2) ( i =n)

⑥少本用2大￥ 推论 一个n阶行列式，如果其中第i行所有 元素除外都为零，那末这行列式等于，与它的 代数余子式的乘积， 即 D=aA 11 L12 L13 14 例如 l22 L23 D L21 24 0 0 33 0 L41 042 043 044 11 12 L14 =(-103 43321 u22 L24 L41 L42 L44

推论 一个 阶行列式，如果其中第 行所有 元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的 代数余子式的乘积，即 D = aijA．ij n i ij a ij a 41 42 43 44 33 21 22 23 24 11 12 13 14 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a D = ( 1) . 41 42 44 21 22 24 11 12 14 33 3 3 a a a a a a a a a a + = − 例如

⑥少本1大￥ 二、行列式的性质 记 12 n 41 21 22 D l22 An2 D .Qnn 行列式D'称为行列式D的转置行列式： 性质1行列式与它的转置行列式相等 回

二、行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 D 称为行列式 D 的转置行列式.  记 nn a a a  22 11    n n a a a 2 12 1   1 2 21 n n a a a D =    2 21 1 n n a a a   n n a a a 1 2 12 ' D = nn a a a  22 11

⑥白本用1大 证明 记D=det(au的转置行列式 411a21 bu b12 D'=2 22 (n2 b21 B22 A2n bn2 即b=a(,=1,2,n),按定义 D=∑(-l）'bnbn-bm.=∑(-1)°an1a2.apw 又因为行列式D可表示为 D=∑(-l)'anap2apn 故 D-D' 证毕

证明 记 D = det(aij)的转置行列式 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n n n nn b b b b b b b b b = 即b a i j n ij ji = = ( , 1, 2, , ,) 按定义 ( ) 1 2 ' 1 2 1 n D b b b p p np  = −  又因为行列式D可表示为 ( ) 1 2 1 2 1 . n D a a a p p p n  = −     2 21 1 n n a a a   n n a a a 1 2 12 ' D = nn a a a  22 11 ( ) 1 2 1 2 1 . n p p p n a a a  = −  故 D D=  . 证毕

⑥少本X2大￥ 说明行列式中行与列具有同等的地位，因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 例如 上三角行列式 11 412 0 a22 02n =41122mm 0 0 . 回

说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. . = a11a22 ann 11 12 1 22 2 0 0 0 n n nn a a a a a a 例如 上三角行列式

⑥少本理1大￥ 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号 证明：用数学归纳法 当n=2时 1 结论成立。 1a412 假设对n-1阶行列式结论成立。 对于n阶行列式

性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明: 用数学归纳法 当n=2时， 11 12 21 22 21 22 11 12 a a a a a a a a = − 结论成立。 假设对n-1阶行列式结论成立。 对于n阶行列式

少大至 1 12 11 12 s2 D1= s2 12 an2 分别将D和D按第行展开(s,I),得 D-(-1)/Mty D,=2“(-1)Ng 其中M和N分别为D和D1中a的余子式，并且 N可是由M互换两行得到的n-1阶行列式，由归 纳假设知 D=-D1 上页 回

分别将D和D1按第i行展开(i≠s,l), 得 11 12 1 1 2 n 1 1 2 1 2 n s s s l l ln n n nn a a a a a a D a a a a a a = 1 1 ( 1)i j ij ij j D a N+ = = −  1 ( 1)i j ij ij j D a M+ = = −  其中Mij和Nij分别为D和D1中 aij 的余子式，并且 Nij是由Mij互换两行得到的n-1阶行列式，由归 纳假设知 1 D D = − . 11 12 1 1 2 n 1 2 1 2 n l l l s s sn n n nn a a a a a a D a a a a a a =

⑥山本I上大￥ 推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零 证明：互换相同的两行，则有D=-D,所以D=0. 性质1.2.3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一 数 等于用数乘此行列式： 即 411 L12 1 2 n kai kai2 kain =k ai Ai2 Nin Anl 0n2 Ann An2 Ann 推论1：行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外面 推论2：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行 列式为零

推论: 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式为零. 证明: 互换相同的两行, 则有D = – D, 所以D = 0. 性质1.2.3: 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一 数k, 等于用数k乘此行列式. n n nn i i in n a a a ka ka ka a a a          1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in n a a a a a a a a a k          1 2 1 2 11 12 1 = 即 推论1: 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外面. 推论2: 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行 列式为零．