《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）7.1 点估计

第七章参数估计 点估计 参数估计 问题 统计推断 区间估计 的 基本问题 假设检验 问题 第八章

第七章 参数估计 参数估计 问题 假设检验 问题 点 估 计 统计推断 区间估 计 的 基本问题 ——第八章

什么是参数估计？ 参数是刻画总体某方面概率特性的数量， 当此数量未知时，从总体抽出一个样本，用某种方法对这 个未知参数进行估计就是参数估计. 例如，X~N(4,σ)， 若弘，σ未知，通过构造样本的函数，给出它们的估计值或 取值范围就是参数估计的内容。 参数估计的类型 点估计：估计未知参数的值， 区间估计：估计未知参数的取值范围，并使此范围包含 未知参数真值的概率为给定的值

什么是参数估计？ 参数是刻画总体某方面概率特性的数量. 当此数量未知时,从总体抽出一个样本，用某种方法对这 个未知参数进行估计就是参数估计. 例如，X ~N ( , 2 ), 若,  2未知, 通过构造样本的函数, 给出它们的估计值或 取值范围就是参数估计的内容. 参数估计的类型 估计未知参数的值. 估计未知参数的取值范围，并使此范围包含 未知参数真值的概率为给定的值. 区间估计： 点估计：

第一节点估计 一、点估计问题的提法 二、矩估计法 三、极大似然估计

一、点估计问题的提法 二、矩估计法 三、极大似然估计 第一节 点估计

设总体X的分布函数形式已知，但它的一个或多个参数为未 知，借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称 为点估计问题 例1.某厂一天发生着火现象的次数X是一个随机变量，假设Xπ(2) (泊松分布)，参数2未知，试根据以下样本值，估计参数2的值. 着火次数k 0123456 发生k次着火的天数m,75905422621∑=250 解4=E(X)=入，A=XP→4=入 :.可用样本均值估计总体均值. -(2]月2-=1以-1燕杏进在

设总体X的分布函数形式已知, 但它的一个或多个参数为未 知, 借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称 为点估计问题. 例1. 某厂一天发生着火现象的次数X是一个随机变量，假设X~π(λ) (泊松分布)，参数λ 未知，试根据以下样本值，估计参数λ 的值 . 解 1   = = E X( ） ， 1 1 P A X = ⎯⎯→ =    可用样本均值估计总体均值. 6 6 1 1 k k k k x kn n = =     =           305 1.22 250 = = 0 1 2 3 4 5 6 75 90 54 22 6 2 1 250 k k k n = 着火次数 发生 次着火的天数 ˆ =  参数 λ 的估计值

点估计问题的一般提法 设总体X的分布函数F(x;)的形式为已知，日是待估参数. X1,X2,.,Xn是X的一个样本，x1,2,xn为相应的一个样本值， ,点估计问题就是要构造一个适当的统计量K1,X2,.,X) 用它的观察值c,x2,xn)来估计未知参数8. X,X2,.,X)称为0的估计量，)通称估计， c,x2,x,)称为日的估计值.」简记为日

点估计问题的一般提法 1 2 1 2 ( ; ) . , , , , , , . n n X F x X X X X x x x 设总体 的分布函数   的形式为已知， 是待估参数 是 的一个样本， 为相应的一个样本值 1 2 1 2 ˆ ( , , , ), ˆ ( , , , ) . n n X X X x x x    点估计问题就是要构造一个适当的统计量 用它的观察值 来估计未知参数 1 2 ˆ ( , , , ) . X X X n   称 为 的 估 计 量 1 2 ˆ ( , , , ) . n   x x x 称 为 的 估 计 值 , ˆ  .    通称估计 简记为

一、矩估计法 分布中含k个未知参数日，02，.，0. 设X为连续型，其密度f(x;日，日2，.，日)，或X为离散型，分布律 P{X=x}=p(x;01,02,0)2X1,X2,Xn来自X. 假设总体X的前k阶矩存在，且均为日，02，0的函数，即 总体1阶 (原点)矩 4=5K-:0久8，应连续型 ∑x'px0,8.,8) (X离散型) 代替 XERY 其中Rx是x可能取值的范围，l=1,2,.,k 样本1阶（原点）矩 4=1∑X,1=1,2,k 解出日，02，.，日，即为矩估计量（或矩估计值）0，0

一、 矩估计法 假设总体X k 的前 阶矩存在, 1 2 , , , , 且均为   k 的函数 即 1 2 ( ; , , , ) l k x f x dx    +  −  1 2 ( ; , , , ) X l k x R x p x      1 2 1 2 1 2 , ( ; , , , ) { } ( ; , , , ) , , , . k k n X f x X P X x p x X X X X    = =    设 为连续型 其密度 ，或 为离散型，分布律 ， 来自 (X连续型) (X离散型) 样本 l 阶(原点)矩 1 1 , 1, 2, , . n l l i i A X l k n = = =  总体 l 阶 (原点)矩 ( )l l E X   = =    1 2 , , , . k 分布中含k个未知参数   代替 , 1,2, , 其中R x l k X是 可能取值的范围 = ( ) 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ , , , , , , . k k 解出       ，即为矩估计量 或矩估计值

矩估计法：用样本矩作为相应总体矩的估计量，用样本矩的连续函 数作为相应总体矩的连续函数的估计量（包括原点矩和中心矩） (矩估计法的理论根据) 定理如果总体X的k阶矩E(X)=44存在，则当n→o时， A=2xP4,k=12, 若g是连续函数，则g(A1,A2,.,A)P→g(41,凸，44)

矩估计法：用样本矩作为相应总体矩的估计量，用样本矩的连续函 数作为相应总体矩的连续函数的估计量(包括原点矩和中心矩) (矩估计法的理论根据) 定理 如果总体 的 阶矩 存在，则当 时， 1 ( ) 1 , 1, 2, k k n k P k i k i X k E X n A X k n   = = →  = ⎯⎯→ =  1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) P k k 若g是连续函数，则 g A A A g ⎯⎯→   

矩估计法的具体做法 样本矩A,≈总体矩出（亿=1,2，.，k) 4=E(X)=41(0,02,0) 81=8(4,4,.,4k） 令 4=E(X)=4(8,日2，0)这蝇共中的包含个果蜘参数，4) 09经8的方程组 4=E(X*)=44(0,02,0) 8=8(4,.,4k) 将凸，凸，.，4分别用A1,A,.,A代替，可得日，.，0的矩估计量： 0=日(A1,A2,.,A) 02=日2(41,42，.，4) 0=0(4,A,.,A) 0,=0,(A,A2,.,A)分别作为0，i=1,2,.,k的估计量， 称为矩估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值

矩估计法的具体做法 1 2 , , , 这是一个包含 个未知参数 k的方程组 k    1 2 , , , k ⎯⎯⎯⎯→    解出其中的 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) k k k k k                 =   =    =  1 2 ˆ ( , , , ) , 1,2, ,    i i k i = = A A A i k 分别作为 的估计量， 称为矩估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值. 样本矩  = 总体矩 ( 1, 2, , ) A l k l l  1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ) ( , ,., ) ( ) ( , ,., ) ( ) ( , ,., ) k k k k k k E X E X E X                 = =   = =    = =  令 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ˆ ( , , , ) ˆ ( , , , ) ˆ ( , , , ) k k k k k A A A A A A A A A        =   =    =  1 2 1 2 1 , , , , , , , , 将      k k k 分别用A A A 代替，可得 的矩估计量：

例2.设总体X在[，b]上服从均匀分布，其中4，b未知， X1,X2,Xn)是来自总体X的样本. (I)求，b的估计量； (2)现取得10个样本值如下，求，b的矩估计值. 3.38015.39855.27552.81312.5950 4.49186.79873.70194.92633.1191 解(1) ∫4=E(X)=+b 1 E(X)=(X))( 12 a=4-3(h-) → b=4+V3(h2-) 将山，分别用A1,A代替，可得，b的矩估计量：

1 2 2 [ , ] , , ( , , , ) . n X a b a b X X X X 设总体 在 上服从均匀分布 其中 ， 未知 是来自总体 例 的样本. 解 (1) 1  = E X( ) , 2 a b + = 2 2  = E X( ) 2 2 ( ) ( ) , 12 4 a b a b − + = + 2 = + D X E X ( ) [ ( )] 2 1 2 1 2 1 2 1 3 3 a b         = − −   = + −  （ ） ， （ ） 1 2 1 2 将   ， 分别用A A a b , , 代替，可得 的矩估计量：  (1)求a b ， 的估计量; 3.3801 5.3985 5.2755 2.8131 2.5950 4.4918 6.7987 3.7019 4.9263 3.1191 (2) 10 现取得 个样本值如下, 求a，b的矩估计值

=4-V3(42-4) 4=开 a-2-0 6=A+342-4) an=10,x=2=425代入上式，得 1 0-3-N 2x-0-20236 → 6=+2-664 侯标上，X区苑

(2) 10 1 1 4.25 i i x x n = = =  2 1 2 1 3 ˆ ( ) =2.0236 ˆ 3 ( ) =6.4764 n i i n i i a x x x n b x x x n = =   = − −     = + −    n = 10, 实际上，X U~ ( ) 2,7 2 1 2 1 a A A A ˆ = − − 3( ) 2 1 2 1 3 ˆ ( ) 3 ˆ ( ) n i i n i i a X X X n b X X X n = = = − − = + −   2 1 2 1 ˆ b A A A = + − 3( ) A X 1 = 2 2 1 1 , n i i A X n = =  代入上式，得