《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）3.3 条件分布

第三节条件分布 一、离散型随机变量的条件分布 二、连续型随机变量的条件分布

一、离散型随机变量的条件分布 二、连续型随机变量的条件分布 第三节 条件分布

一、离散型随机变量的条件分布 —一条件分布律 定义设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 P(X=x,Y=y)=pi,i,j=1,2, 对固定的j,若P{Y=y}>0,则 PX-XY-M-PEXY P(Y=y} (i=1,2,） 称为在Y=y的条件下X的条件分布律. 对固定的i,若P{X=x}>0,则 Pw=X=-》-A P(X=x (j=1,2,) 称为在X=x的条件下Y的条件分布律

一、离散型随机变量的条件分布 ——条件分布律 定义 设二维随机变量( , ) X Y 的联合分布律为 { , } , , 1,2, P X x Y y p i j = = = = i j ij   0 j 对固定的 j P Y y ，若 =  ，则   0 i 对固定的i P X x ，若 =  ，则 . 称为在Y y X = j的条件下 的条件分布律 . 称为在X x Y = i的条件下 的条件分布律 { } P X x Y y = = i j ij j p p• = ( 1,2, ) i = { } P Y y X x = = j i ij i p p • = ( 1,2, ) j = { , } { } i j j P X x Y y P Y y = = = = { , } { } i j i P X x Y y P X x = = = =

PX-xY-)-P (i=1,2,) .j 即 W=X=}- (j=1,2 Pi 条件概率的性质：10P{X=xY=≥0； 2°∑PX=x1Y=y,}=1 例1在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的. 其一是紧固三只螺栓，其二是焊接2处焊点.以X表示机器人紧固 的螺栓坚固得不良的数目，以Y表示由机器人焊接的不良焊点的 数目.据积累的资料知(X,)的分布律如下：

     即 条件概率的性质： 1 0 P{ X= xi |Y= yj }0； ij i p p • = { } P X x Y y = = i j { } P Y y X x = = j i ij j p p• = ( 1,2, ) j = ( 1,2, ) i = 0 1 2 { | } 1 i j i P X x Y y  =  = = = 例1 在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的. 其一是紧固三只螺栓，其二是焊接2处焊点. 以X表示机器人紧固 的螺栓坚固得不良的数目，以Y表示由机器人焊接的不良焊点的 数目. 据积累的资料知（X，Y）的分布律如下：

0 111 2 3 PV=》 L10 -0.840.10-030-0.020_0010 -0,900- 0.900 1 0.060 10.010 0.008 0.002 0.080 2 0.01010.005↓ 0.004 0.001 0.020 P{X=} 0.910 10.04510.032 0.013 求(1)在X-1的条件下，Y的条件分布律. (2)在Y=0的条件下，X的条件分布律. 解 (①)PW=0x-y=PX=1,y=0 0.030 P{X=1} 0.045 3 POY=1X=1)=P(X=LY=1_ .010_ P{X=1} .045 9 PW=2x=1}-PX=1Y=2= 0.005= P{X=1 0.045 9

X Y 0 1 2 3 0.840 0.030 0.020 0.010 0.060 0.010 0.008 0.002 0.010 0.005 0.004 0.001 0 1 2 0.900 0.080 0.020 P X i { } = 0.910 0.045 0.032 0.013 P Y j { } = 解 求（1）在 X = 1的条件下，Y 的条件分布律. （2）在Y = 0的条件下，X 的条件分布律. { 1, 0} 1 { 0 1} { 1} P X Y P Y X P X = = = = = = （ ） 0.030 2 , 0.045 3 = = { 1, 1} { 1 1} { 1} P X Y P Y X P X = = = = = = 0.010 2 , 0.045 9 = = { 1, 2} { 2 1} { 1} P X Y P Y X P X = = = = = = 0.005 1 , 0.045 9 = =

即在X=1的条件下，Y的条件分布律为 Y=k 012 P(Y=kX=1) (2)同理可得，在Y=0的条件下，X的条件分布律. X=k 0 12 3 P(X=k Y=0) 别品 90 90

Y k = P Y k X { 1} = = 0 1 2 2 2 1 399 即在 X Y = 1 , 的条件下 的条件分布律为 （2）同理可得，在Y=0的条件下，X的条件分布律 . X k = P X k Y { 0} = = 0 1 2 3 84 3 2 1 90 90 90 90

二、连续型随机变量的条件分布 对于连续型随机变量，不能象离散型随机变量那样 通过P{X≤xY=y}来定义条件分布函数了。 给定y,对任意的x,ε>0，考察条件概率 PX≤xly<y≤y+e=PX≤xy<y≤y+& P{y<Y≤y+} 上油，小-小* ∫f0d sf(y)

二、连续型随机变量的条件分布 对于连续型随机变量，不能象离散型随机变量那样 通过P X x Y y { | }  = 来定义条件分布函数了。 P X x y Y y { | }    +  给定 y，对任意的 x，  0，考察条件概率 { , } { } P X x y Y y P y Y y      + =   + ( , ) ( ) x y y y Y y dx f x y dy f y dy   + − + =    ( , ) ( ) x Y f x y dx f y   −    ( , ) , ( ) x Y f x y dx − f y = 

定义设(XY的概率密度为f(x,y,它关于Y的边 缘密度为f(y)。若对于固定的y,(y)>0,则称 》为在条件Y可下X的条件概率密度。 f() 记为人)=微 称1ne1na-了：为在条件门下入 的条件分布函数，记为 fn=xs=n-a

定义 设 ( , ) X Y 的概率密度为 f x y ( , )，它关于 Y 的边 缘密度为 ( ) Y f y 。若对于固定的 y， ( ) Y f y >0，则称 ( , ) ( ) Y f x y f y 为在条件 Y=y 下 X 的条件概率密度。 ( , ) ( ) { } d . ( ) x X Y Y f x y F x y P X x Y y x − f y =  = =  称 | ( , ) ( | )d d ( ) x x X Y Y f x y f x y x x − − f y =   为在条件 Y=y 下 X 的条件分布函数，记为 ( , ) ( ) ( ) X Y Y f x y f x y f y 记为 =

同理定义在X=x的条件下Y的条件概率密度为 .)= fx(x) 在X=x的条件下Y的条件分布函数为 FxOx=PY≤X=xy=∫fxO)dy 例3.设X,Y服从区域x2+y2≤1上的均匀分布， 求条件概率密度fxy(x|y) 1 解：第一步：求(X,）的联合概率密度 )st 其他

同理定义在 X x Y = 的条件下 的条件概率密度为 ( ) { } F y x P Y y X x Y X =  = ( )d . y Y X f y x y − =  2 2 | , 1 ( | ). 3. X Y X Y x y f x y 设 服从区域 +  上的均匀分布， 求条件概率密度 例 在 X x Y = 的条件下 的条件分布函数为 解：第一步：求（X，Y）的联合概率密度 2 2 1 π 1 ( , ) , 0 x y f x y  +  =   其他 x y 1 −1 ( , ) ( ) ( ) Y X X f x y f y x f x =

f(x,y)- 1/mx2+y2≤1 0 其他 第二步：求关于Y的边缘概率密度 2=1 fry)=∫fx,y)dx -2-F-1s到 其他 第三步：求条件概率密度∫x(x|y) n滑宁- 因定的型] 其他

2 2 1 π 1 ( , ) , 0 x y f x y  +  =   其他 第二步：求关于Y 的边缘概率密度 ( ) Y f y 2 2 1 2 1 1 2 d 1 1 1 , 0 y y x y y   − − −   = − −   =     其他 f x y x ( , )d  − =  x y 1 −1 -1<y <1 时， ( ) X Y f x y = 第三步：求条件概率密度f X |Y ( x | y ) 固定的 y 2 2 x y + = 1 y ( , ) ( ) Y f x y f y 2 2 2 1 1 1 2 1 . 0 y x y y   − −   − =  −  其他

例4.设数X在区间(0,1)上随机地取值，当观察到 X=x(0<x<1)时，数Y在区间(x,1)上随机地取 值，求Y的概率密度，(y) 由题意知水具有概率密度f(9= 0<x<1, 解 0,其它 对于任意给定的值x(0<x<I),在X=x的条件下， Y的条件概率密度为 Ey出E0<x<3 0, 其它

(0,1) (0 1) ( , 1) ( ). Y X X x x Y x Y f y =   设数 在区间 上随机地取值，当观察到 时，数 在区间 上随机地取 值，求 的概率密度 解 由题意知 X 具有概率密度 1, 0 1, ( ) 0, . X x f x    =   其它 对于任意给定的值 x x (0 1),   在X x = 的条件下, Y 的条件概率密度为 1 , 0 1, ( ) 1 0, . Y X x y f y x x      =  −   其它 例4