《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 向量代数与空间解析几何_8-5 曲面及其方程

第玉节 第八章 曲面及其方程 曲面方程的概念 二、 旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面

四、二次曲面 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 曲面及其方程 第八章

定义1. 如果曲面S与方程F(x,yz)=0有下述关系 (1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程， (2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程， 则F(x,yz)=0叫做曲面S的方程 F(X.V=0 曲面S叫做方程F(x,yz)=0的图形 两个基本问题 (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时！ 求曲面方程 (2)已知方程时，研究它所表示的几何形状 (必要时需作图)】

定义1 F(x, y,z)  0 S z y x o 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 )

例1.求动点到定点M0(x0,0,二0)距离为R的轨迹 方程。 解：设轨迹上动点为M(x,y,z),依题意MM=R 即 V(x-x)》2+(y-o)2+(2-o2=R 故所求方程为 (x-x)2+(y-0)2+(2-20)2-R2 特别，当M在原点时，球面方程为 x2+y2+z2=R2 R2-x2-y2 表示上半球面

故所求方程为 例1 求动点到定点 M (x, y,z), ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为 解: 设轨迹上动点为 M0M  R 即 依题意 距离为 R 的轨迹 x y z o M M 0 2 2 2 z  R  x  y 表示上半球面 . x  x  y  y  z  z  R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 0 (x  x )  ( y  y )  (z  z )  R 2 2 2 2 x  y  z  R

例2.研究方程 x2+y2+z2-2x+4y=0 表示怎样的曲面. 解：配方得 (x-1)2+(0y+2)2+=2=5 此方程表示： 球心为Mo(1,-2,0), 半径为5的球面. 说明：如下形式的三元二次方程(A≠0) A(x2+y2+z2)+Dx+Ey+F+G=0 都可通过配方研究它的图形.其图形可能是 个球面，或点，或虚轨迹

例2 研究方程 2 4 0 2 2 2 x  y  z  x  y  解: 配方得 5 (1, 2, 0), 此方程表示: M0  说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形.其图形可能是 表示怎样的曲面. 半径为 的球面. ( ) 0 2 2 2 A x  y  z  Dx  Ey  Fz  G  球心为 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹. ( 1) ( 2) 5 2 2 2 x   y   z 

二、旋转曲面 定义2 一 条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一 周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴 例如：

定义2 二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转一 周所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴. 例如 :一条平面曲线

建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程： 给定y0z面上曲线C:f(y,)=0 若点M1(0,1)∈C,则有 f(1,1)=0 当绕z轴旋转时，该点转到 M1(0,y1,21） M(x少，2〗 M(x,y,),则有 z=1,x+y= 故旋转曲面方程为

建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程 故旋转曲面方程为 M (x, y,z) , 当绕 z 轴旋转时, ( , ) 0 f y1 z1  (0, , ) , 若点 M1 y1 z1 C 给定 yoz 面上曲线 C: (0, , ) 1 1 1 M y z M (x, y,z) 1 2 2 1 z  z , x  y  y 则有 ( , ) 0 2 2 f  x  y z  则有 该点转到 f ( y,z)  0 o z y x C

思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？ C:f(y,z)=0 f(y,±Vx2+z2)= 0

思考 当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ C : f ( y,z)  0 o y x z ( , ) 0 2 2 f y  x  z 

例3.试建立顶点在原点，旋转轴为z轴，半顶角为 的圆锥面方程 解：在yoz面上直线L的方程为 z=ycota 绕z轴旋转时，圆锥面的方程为 M(0,y,z) z=±/x2+y2c0t0 两边平方 22=a2(x2+y2)

例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为 z 轴, 半顶角为  的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 z  y cot 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 cot 2 2 z   x  y ( ) 2 2 2 2 z  a x  y 令 a  cot x y z  两边平方 L M (0, y,z)

例4.求坐标面xoz上的双曲线 x232 c2 =1分别绕x +Z 轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程 解：绕x轴旋转所成曲面方程为 绕z轴旋转所成曲面方程为 这两种曲面都叫做旋转双曲面

x y 例4 求坐标面 xoz 上的双曲线 1 2 2 2 2   c z a x 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 1 2 2 2 2 2    c y z a x 绕 z 轴旋转 1 2 2 2 2 2    c z a x y 这两种曲面都叫做 旋转双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 z

三、柱面 引例.分析方程 x2+y2=R2 表示怎样的曲面 解：在xoy面上，x2+y2=R2表示圆C, 在圆C上任取一点M(x,y,0),过此点作 平行z轴的直线1，对任意z,点M(x,y,) 的坐标也满足方程x2+y2-R2 沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为 圆柱面.其上所有点的坐标都满足此方程，故在空间 x2+y2=R2表示圆柱面

x y 三、柱面 z 引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 2 2 2 x  y  R 解:在 xoy 面上， 表示圆C, 2 2 2 x  y  R 2 2 2 x  y  R 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为 故在空间 2 2 2 x  y  R 过此点作 圆柱面. 平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 表示圆柱面 C o 在圆C上任取一点 ( , ,0), 1 M x y l M M1 点M (x, y,z) 其上所有点的坐标都满足此方程