《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）3.2 边缘分布

第二节边缘分布 一、边缘分布函数 二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 重点： 边缘分布的定义、性质、计算（边缘分布函数、 边缘分布律、边缘分布密度)

二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 一、边缘分布函数 重点: 边缘分布的定义、性质、计算（边缘分布函数、 边缘分布律、边缘分布密度） 第二节 边缘分布

一、边缘分布函数 问题：已知(X,Y)的分布，如何确定X,Y的分布？ F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}, Fx)=P{X≤x=P{X≤x,Y<o}/F(x,o)=Fxe (X,Y)关于X的边缘分布函数

一、边缘分布函数 F x y P X x Y y ( , ) { , } , =   =    P X x Y { , } =  F x( , ) ( ) = F x X ( , ) . X Y X 关于 的边缘分布函数 问 题 ： 已 知 ( , ) , , ? X Y X Y 的 分 布 如 何 确 定 的 分 布 F x P X x ( ) { } = 

定义设二维随机变量X,)的分布函数为F,y),则 Fx(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<o}=F(x,o) 称为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数， F(y)=P{Y≤y}=P{X<o,Y≤y}=F(o,y) 称为二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数， Fx(x)=lim F(x,y)=F(x,co) Fy(y)=lim F(x,y)=F(co,y)

( ) { } { , } ( , ) F y P Y y P X Y y F y Y =  =    =  称为二维随机变量（X，Y）关于Y 的边缘分布函数. 定义 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x, y)，则 ( ) { } { , } ( , ) F x P X x P X x Y F x X =  =    =  称为二维随机变量（X，Y）关于X 的边缘分布函数， ( ) lim ( , ) ( , ) X y F x F x y F x → 即 = =  ( ) lim ( , ) ( , ) Y x F y F x y F y → = = 

~维离散型 X的分布律为 PX=x}=P5=1,2,. 随机变量 分布函数为 F9=Px≤=∑2 二、离散型随机变量的边缘分布 设二维离散型随机变量（X,Y)的分布律为 P{X=x,Y=y}=p,i,j=1,2,. Fx(w)=F(x,o)=∑∑P, (关于X的边缘分布函数) →PX=x}=∑P,=p,i=1,2 1 称P.(i=1,2,)为(X,Y)关于X的边缘分布律， Xx1x2.xk 即 PkP.P2.··Pk

{ } 1,2,. P X x p i = = = i i ， 1 { } 1,2, , i ij j P X x p i  = = = =  二、离散型随机变量的边缘分布 { , } , , 1,2, P X x Y y p i j = = = = i j ij 设二维离散型随机变量（X，Y）的分布律为 ( ) { } i i x x F x P X x p  =  =  1 ( ) ( , ) i X ij x x j F x F x p   = =  =   ( 1,2, ) ( , ) . i 称 p i X Y = 为 关于 X 的边缘分布律 一维离散型 随机变量 X 的分布律为 分布函数为 (关于X 的边缘分布函数) , i = p k X p 1 2 k x x x 1 2 k p p p 即

类似地，设二维离散型随机变量（X,Y)的联合分布律为 P{X=x,Y=yj}=P,i,j=1,2,. F,0)=Fo,y)=∑∑P (关于Y的边缘分布函数) PY=}=∑P=p,j=1,2,. 称P(U=1,2,.)为(X,Y)关于Y的边缘分布律. 即 Yy1y2.yk Pkp.1p2.pk

(关于Y 的边缘分布函数) 类似地，设二维离散型随机变量（X，Y）的联合分布律为 { , } , , 1,2, P X x Y y p i j = = = = i j ij 1 ( ) ( , ) j Y ij y y i F y F y p   = =  =   1 { } , 1,2, , j ij j i P Y y p p j  = = = = =  ( 1,2, ) ( , ) . 称 p j X Y j = 为 关于Y 的边缘分布律 即 k Y p 1 2 k y y y 1 2 k p p p

定义：设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 P{X=x,Y=yj}=P,i,j=1,2,. 记p.=2P=Px=x,i=1,2 1= p,=∑P=PY=y,j=1,2,. 分别称p.(i=1,2,)和p.(0=1,2,)为 (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律 XX1X2.xk. Yy1y2.yk Pxpp.p. PkD1D.2.Dk

定义： 设二维离散型随机变量( , ) X Y 的联合分布律为 ( 1,2, ) ( 1,2 ( ) ) , . , i j p X Y X i p j Y • • = = 关于 和关于 的边缘 别称 和 为 分布律 分 { , } , , 1,2, . P X x Y y p i j = = = = i j ij 1 { }, 1,2, , i ij i j p p P X x i  = 记 = = = =  1 { }, 1,2, , j ij j i p p P Y y j  = = = = =  k X p 1 2 k x x x 1 2 k p p p k Y p 1 2 k y y y 1 2 k p p p

☒文件中找不到关系D为1d8的图像部件。 P11 P21. : P12P22 Pi2 Pj P2i P p.i 二 PY=y,}=∑P i=1 P j=1,2,. PIX=x)-2D j-1 i=1,2

X Y j yyy21 p p p 11 21 1i p p p 12 22 2i    p p p 1 2 j j ij   pi . p.j 1 { } 1,2, . j ij i P Y y p j = = = =  1 { } 1,2, i ij j P X x p i = = = = 

补例.己知下列分布律求其边缘分布律， 解 p.i=P(Y=y) 0 12 12 4 42 2 6 3 1 12 2 42 P.=P(X=x) 4-7 3 7 .(X,Y)关于X的边缘分布律 (X,Y)关于Y的边缘分布律 X 0 1 Y 0 1 47

X Y 0 1 12 42 12 42 12 42 6 42 解 4 7 3 7 4 7 3 7 补例. 已知下列分布律求其边缘分布律. ( , ) X Y X 关于 的边缘分布律 ( , ) X Y Y 关于 的边缘分布律 0 1 k X p 0 1 k Y 4 p 7 3 7 0 1 4 7 3 7 p P X x i i • = =   p P Y y • j j = =  

三、连续型随机变量的边缘分布 设连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(化y), 它关于X的边缘分布函数为 F()-F.-)d 则它关于X的边缘概率密度为f(x)=∫f(x,y)d山y 同理(X,Y)关于Y的边缘概率密度为 f()=」fx,y)dx

三、连续型随机变量的边缘分布 同理( X, Y )关于Y 的边缘概率密度为 它关于 X 的边缘分布函数为 设连续型随机变量（X,Y）的概率密度为f (x,y)， 则它关于X 的边缘概率密度为 ( ) ( , ) F x F x X =  ( , )d , x f x y y dx  − −     =    f x f x y y X ( ) ( , )d  − =  f y f x y x Y ( ) ( , )d  − = 

例2.设随机变量X和Y具有联合概率密度 f(x,y)= 6,x2≤y≤x, y=x 0,其它 1,1) 求边缘概率密度fx(x),fr(y): y=x2 解fx()=」fx)dy 01 当x1时，fx(x)=」fx,y)d=0. 当0≤x≤1时，fx(x)=∫"fx,y)-∫6山=6(x-x2) 6好人-收- 其它

2 6, , ( , ) 0, . ( ), ( 2 ). . X Y X Y x y x f x y f x f y    =   设随机变量 和 具有联合概率密度 其它 求边缘概率密度 例 解 f x f x y y X ( ) ( , )d  − =  6( ). 2 = x − x ( ) ( , )d 0. X f x f x y y  − = =  y x = 2 y x = O x y (1,1) 1 f x f x y y X ( ) ( , )d  − =  当 x x   0 1 , 或 时 当0 1 ,   x 时 2 6d x x = y  2 6( ), 0 1, ( ) 0, . X x x x f x  −   =   其它 因而得 x