《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）7.7 单侧置信区间

第七节单侧置信区间 背景 在某些问题中，我们关心的是随机变量平均取值的 “下限”，如平均寿命等；而有时关心的是随机变量平 均取值的“上限”，如废品率、杂质含量等 1.定义 对于给定值a(08}≥1-a, P0<0≥1-a, 称随机区间(B,∞)是日的置信水平为1-的单侧置信区间， (-∞，0) 0称为0的置信水平为1-0的单侧置信下限 0 单侧置信上限

背景 1. 定义 在某些问题中，我们关心的是随机变量平均取值的 “下限”，如平均寿命等； 而有时关心的是随机变量平 均取值的“上限”，如废品率、杂质含量等. 1 2 1 2 (0 1), , , , ( , , , ) , { } 1 , n n X X X X X X P           =     − 对于给定值 若由样本 确定的统计量 对于任意 满足： 称随机区间( , )     − 是 的置信水平为1 的单侧置信区间, { } 1 , P      − 单侧置信上限 第七节 单侧置信区间    1 称为 的置信水平为 − 的单侧置信下限. ( ) −， 

)P{u>}=1-a 2.正态总体均值的单侧置信区问即 (2)P{u<?=1-a 设正态总体X的均值是山，方差是o,(均为未知) X1,X2,Xn是一个样本 岩-a-方P{后-1-a 由 S/√n 即P-4-小=1-a 于是得的一个置信度为1一a的单侧置信区间 (-2a- u的置信度为1-a的单侧置信下限为：u=下-S .u-1)

2. 正态总体均值的单侧置信区间 2 设正态总体 , , ( ) X 的均值是  方差是 均为未知 1 2 , , , , X X Xn 是一个样本 ~ ( 1), / X t n S n −  由 − 1 , / X P S n     −    = −   有 ( 1), , S X t n n      − − +    于是得  的一个置信度为 1 − 的单侧置信区间   的置信度为 1− 的单侧置信下限为： ( 1). S X t n n   = − − ( 1) 1 , S P X t n n         − − = −   即 t n( 1)  ? − (1) ? 1   (2 1 ) ? P P        = −  = −  即

I)P{μ>=1-a 同样地，对于置信水平1- 2P{u<=1-a sr台4.a-小1-a t1-a(n-1)=-ta(n-1) 可解导-a-=+- 故4的置信水平1-a的单侧置信区间为：(-0，下+S 米钢置标上限为：=+a-)

同样地，对于置信水平1− 若令 1 ( 1) 1 X P t n S n   −    −    − = −   1 ( 1) S X t n n 可解得   − − − 故 的置信水平1−的单侧置信区间为：( , ( 1)) S X t n n − + −  单侧置信上限为: ( 1) S X t n n  = + −  ( 1) S X t n n = + −  1 t n t n ( 1)= ( 1) −  − − − (1) ? 1   (2) ? 1 P P      = −  = −   

3.正态总体方差的单侧置信区间 P{o2?}-1-a 若总口为未知，取。-7a- (1)σ2的单侧置信上限 r心-小- 净ro2-1。 移o的一个1信度0 为1-a的单侧置信区间： 元an-d 六g的置信度为1-a的单侧置信上限为：。=（n-1S .(n-)

2 2 2 1 ( 1) ( 1) 1 , n S P n     −   −    − = −   有 2 1  −  于是得 的一个置信度 为 的单侧置信区间： 2  −   的 置 信 度 为 1 的 单 侧 置 信 上 限 为 ： 2 2 2 1 ( 1) 1 , ( 1) n S P  n    −   −    = − −   即 3. 正态总体方差的单侧置信区间 2 若总体  、 均未知， 2 2 2 ( 1) ~ ( 1), n S  n  − 取 − 2 2 1 ( 1) 0, , ( 1) n S  − n   −   −   2 2 2 1 ( 1) . ( 1) n S  n   − − = − (1)  2的单侧置信上限   2 2 (1) ? 1 (2) ? 1 P P         = −  = −  即

)P{σ23=1-g 因 n-1)S2 ◆re<o-小-1a 故σ的置信水平的置信水平1一a的单侧置信区间为 (n-1)S2 x2n-1 ·单侧置信下限为g=-1 x2(n-1)

2 2 2 ( 1) ~ ( 1) n S  n  − 因 − 令 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 n S P n       −    − = −   2 故  的置信水平的置信水平1− 的单侧置信区间为 2 2 ( 1) , ( 1) n S   n   −   +  −   2 2 2 ( 1) ( 1) n S  n   −  = − 单侧置信下限为 (2)  2的单侧置信下限   2 2 (1) ? 1 (2) ? 1 P P      = −  = −    

例.设从一批灯泡中，随机地取5只作寿命试验，测得寿命（以小 时计)为1050,1100,1120,1250,1280，设灯泡寿命服从正态分布， 求灯泡寿命平均值的置信度为0.95的单侧置信下限. 解 君a奇P者-=1-a S 于是得的一个置信度 为1一的单侧置信区间： (-24a-+ 1-a=0.95, n=5, x=1160, s2=9950, ta(n-1)=ta.os(4)=2.1318, 的置信度为0.95的置信下限μ=r- t.(n-1)=1065. Vn

例. 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验,测得寿命(以小 时计)为1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均值的置信度为0.95的单侧置信下限. 解 1 0.95, − =  n = 5, x = 1160, 0.05 t n t ( 1) (4) 2.1318,  − = = 2 s = 9950, 的置信度为 0.95 的置信下限 ( 1) 1065. s x t n n   = − − = ( 1), , S X t n n      − − +  1    − 于是得 的一个置信度 为 的单侧置信区间： ~ ( 1), ( 1) 1 , / / X X t n P t n S n S n     − −   −  − = −     有

内容小结 单侧置信区间 1.正态总体均值的置信度为1一a的单侧置信区间（方差未知） (n+-小-a- 单侧置信上限 单侧置信下限u 2.正态总体方差o2的置信度为1-a的单侧置信区间 0,n-09 22an-1) 单侧置信上限为。7=(n-)S Zia(n-1) (n-1)S2 n-+o 单侧置信下限为g=”-0 xa(n-1)

内容小结 单侧 置 信 上 限  单侧 置 信 下 限  2 2 21 ( 1) 1 = ( ) n S  n   − − − 单侧 置信 上 限 为 , , ( 1) S X t n n      −   + − ( 1), , S X t n n       −  − 2 2. 1 正态总体方差   的置信度为 − 的单侧置信 区 间 1. 1 正态总体均值   的置信度为 − 的单侧 置信 区 间 2 21 ( 1) ( 0, . 1) n S  − n − −       (方差未知 ) 单侧 置 信 区 间 2 2 , ( 1) ( 1) n S   n− −     +    2 2 2 ( 1) ( 1) n S  n   − = − 单侧 置信 下 限 为

作业P176 25(1)

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