山东理工大学：《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 n阶行列式 1-1n阶行列式的概念

©少东理子大军 第一章n阶行列式 第一节阶行列式的定义 第二节阶行列式的性质 第三节n阶行列式的计算 第四节克拉默法则 上页

第一节 n 阶行列式的定义 第一章 n阶行列式 第二节 n 阶行列式的性质 第三节 n 阶行列式的计算 第四节 克拉默法则

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第一节 n 阶行列式的定义

©少东理子大军 二阶与三阶行列式 用消元法解二元（一次）线性方程组： aux+a2x2=b () (1-1) a421Y+a2x2=b2 (2) (1)×022 1122x1+ 12422x2fb1022, (2)×L12: a12421x1t1222X2fb2412, 两式相减消去x2,得 (11022-41221)X1=b122-b2412; 页

用消元法解二元(一次)线性方程组: 一、 二阶与三阶行列式    + = + = (2) (1) 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b (1-1) (1)a22: a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22, (2)a12: a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12, 两式相减消去x2 , 得 (a11a22 – a12a21) x1 = b1a22 – b2a12;

©少本用子大军 类似地，消去x,得 (a11422-41221）x2=b2411-b1a21 当(a11422-01221)≠0时，方程组的解为： b1422-412b2 x,=4b-b41 41022-41242 011L22-012L2 由方程组(1)的四个系数确定 为方便记忆，我们引入二阶行列式 D= a11a2 =a11a22-a12a21 ( a21a22 其中元素a,的第一个下标i为行指标，第二个下标j为 列指标。即a,位于行列式的第i行第j列。 回

11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − = 当(a11a22 – a12a21)  0时, 方程组的解为: 由方程组(1)的四个系数确定 类似地, 消去x1 , 得 (a11a22 – a12a21) x2 = b2a11 – b1a21; 为方便记忆，我们引入二阶行列式 (1) 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 a a a a a a a a D = = − 其中元素 aij 的第一个下标 i 为行指标，第二个下标 j 为 列指标。即 aij位于行列式的第 i 行第 j 列

©山东理子大军 即 D 11 12 L1122-012021 L21 22 二阶行列式的计算 对角线法则 主对角线 41122-41221 副对角线 对于二元线性方程组 k1t12水2=b (1-1) 凸21+222=b2 若记 22 D称为线性方程组(1-1)的系数行列式

21 22 11 12 a a a a 21 22 11 12 a a a a D = = a11a22 – a12a21 即 主对角线 副对角线 二阶行列式的计算——对角线法则 = a11a22 – a12a21 对于二元线性方程组 D称为线性方程组(1-1)的系数行列式.    + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 21 22 11 12 a a a a 若记 D = (1-1)

x1+42x2 a11+42x2 4211+222 b 021X1+422X2 b, D b, b, 则该二元线性方程组的解3)式 火1= b1422-412b2 X2= 411b2-b1421 (3) 41122-412421 011022-412421 b 12 411 表示为：x1= D b2 422 D2 2 b, D 411 X2= 12 D 11 12 L21 L22 21 L22 注意：分母都为原方程组的系数们列式 回

21 22 11 12 a a a a D =    + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 2 22 1 12 1 b a b a D = 21 22 11 12 a a a a D =    + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 12 2 11 1 2 a b a b D = , 21 22 11 12 2 22 1 12 1 1 a a a a b a b a D D x = = 注意: 分母都为原方程组的系数行列式. . 21 22 11 12 21 2 11 1 2 2 a a a a a b a b D D x = = 则该二元线性方程组的解(3)式 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − = (3) 表示为:

©少东理子大军 例1：解二元线性方程组 3x1-2x2=12 2x+x2=11 解： D= 3-2 21 =3-(-4)=7≠0， D,= 12 =-21, 14 X1= D D =2,= 7 D -21=-3. 上页

. 2 1 3 2 12 1 2 1 2    + = − = x x x x 2 1 3 − 2 D = 1 1 12 2 1 − D = = 14, 2 1 3 12 D2 = = −21, D D x 1  1 = 2, 7 14 = = D D x 2 2 = 3. 7 21 = − − = 例1: 解二元线性方程组 解: = 3 – (–4) = 7  0

③少东眉)大军 三阶行列式 用高斯消元法，解三元一次线性方程组 a111+a2x2+a13x3=b (1-2) a21+a22x2+a23x3=b2 a3X1+a32x2+a33x3=b3 也可以得到类似的结果。即如果引入三阶行列式 d11 l12 a1 auazza3s +a2azsasi+a3ad32 az a22 123 a31 032- -411023032-012Q21Q33-a413a22a31 列标 行标 这回

用高斯消元法，解三元一次线性方程组 也可以得到类似的结果。即如果引入三阶行列式 （1-2） 三阶行列式 列标 行标

@山东理子大军 则当（1-2)的系数行列式 411 012 013 b 412 D= 01 L22 23 ≠0 D b, a22 Q23 31 L32 433 b, a32 433 , b a13 a12 b D2 a21 b2 d23 D3= a21 a22 b2 a431 bs a33 a32 b. 时，方程组(1-2)的解可以用三阶行列式表示为 对于n元一次方程组，是否也有类似于上述的结 果呢？这就是本章要回答的一个问题

11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 a a a D a a a a a a =  时，方程组（1-2）的解可以用三阶行列式表示为 , , . 3 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x = = = 对于n元一次方程组，是否也有类似于上述的结 果呢？这就是本章要回答的一个问题 。 3 32 33 2 22 23 1 12 13 1 b a a b a a b a a D = 31 3 33 21 2 23 11 1 13 2 a b a a b a a b a D = 31 32 3 21 22 2 11 12 1 3 a a b a a b a a b D = 则当（1-2）的系数行列式

面颜之一一 ©少东理上大军 三阶行列式的计算 (1)对角线法则 =411022033+412023031+413021032 13223L122133-112332 注意：红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元 说明1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 说明2.三阶行列式包括3！项，每一项都是位于不 回

三阶行列式的计算 11 22 33 = a a a . − a11a23a32 (1)对角线法则 13 21 32 + a a a 12 23 31 + a a a − a13a22a31− a12a21a33 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 说明2. 三阶行列式包括3!项, 每一项都是位于不 同行, 不同列的三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项 为负. 注意:红线上三元素的乘积冠以正号, 蓝线上三元 素的乘积冠以负号． 说明1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．