《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 大数定律和中心极限定理

概率伦与敖理统外 引言 迄今为止，人们已发现很多大数定律 (laws of large numbers),所谓大数定律， 简单地说，就是大量数目的随机变量所 呈现出的规律，这种规律一般用随机变 量序列的某种收敛性来刻划。本章仅介 绍几个最基本的大数定律

引言 迄今为止,人们已发现很多大数定律 (laws of large numbers)，所谓大数定律， 简单地说，就是大量数目的随机变量所 呈现出的规律，这种规律一般用随机变 量序列的某种收敛性来刻划。本章仅介 绍几个最基本的大数定律

概率论与敲理统什「 大量随机现象的平均结果实际上是与各个 个别随机现象的特征无关，并且几乎不再是随机 的了.所有这些事实都应该由概率论作出理论上 的结论. 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的 稳定性的一系列定理统称为大数定律.大数定律 是一种表现必然性与偶然性之间的辩证联系的规 律.由于大数定律的作用，大量的随机因素的总和 作用必然导致某种不依赖于个别随机事件的结果

大量随机现象的平均结果实际上是与各个 个别随机现象的特征无关,并且几乎不再是随机 的了.所有这些事实都应该由概率论作出理论上 的结论. 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的 稳定性的一系列定理统称为大数定律.大数定律 是一种表现必然性与偶然性之间的辩证联系的规 律.由于大数定律的作用,大量的随机因素的总和 作用必然导致某种不依赖于个别随机事件的结果.￾

概率伦与敖理统外 s5.1大数定律 ②讨论“概率是频率的稳定值”的确切含义； ☑给出几种大数定律： 切比雪夫大数定律 伯努利大数定律 辛钦大数定律

§5.1 大数定律 Ø 讨论 “概率是频率的稳定值”的确切含义； Ø 给出几种大数定律： 切比雪夫大数定律 伯努利大数定律 辛钦大数定律

根率纶与散理统外 一、问题的引入 实例 频率的稳定性 随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳 定于某个常数.单击图形播放/暂停ESc键退出 投币试验试验次数 200 正面 反面 启示：从实践 中人们发现 大量测量值 的算术平均 频率0.51 频率 0.49 值有稳定性

一、问题的引入 实例 频率的稳定性 随着试验次数的增加, 事件发生的频率逐渐稳 定于某个常数. 启示:从实践 中人们发现 大量测量值 的算术平均 值有稳定性. 单击图形播放/暂停 ESC键退出

概率纶与散理统外 二、基本定理 设y,Y,L,Y是一个随 机变量序列，是一个常 定理（伯努利大数定律) 数，若对于任意正数e 设n4是n次独立重复试 有lim PY-aKe}=1, 的次数，p是事件A在每次记 则对于任意正数e>0,有 则称序列Y,Y,L,Y, 依概率收敛于，记为 Y,34®a 又称为”4依概率收敛于 n

二、基本定理 定理（伯努利大数定律）

根率纶与数理统外「 说明： 伯努利定理表明事件发生的频率”1依概 率收敛于事件的概率p,它以严格的数学形式 表达了频率的稳定性. 故而当n很大时，事件发生的频率与概率 有较大偏差的可能性很小.在实际应用中，当 试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来 代替事件的概率

说明: 故而当 n 很大时, 事件发生的频率与概率 有较大偏差的可能性很小. 在实际应用中, 当 试验次数很大时, 便可以用事件发生的频率来 代替事件的概率

概率论与敖理能外 S5.2 中心极限定理 独立随机变量和 设{X}为独立随机变量序列，记其和为 12 k=1 ☑讨论独立随机变量和的极限分布 ☑指出极限分布为一般形式

§5.2 中心极限定理 Ø 讨论独立随机变量和的极限分布 Ø 指出极限分布为一般形式 独立随机变量和 设 {Xn} 为独立随机变量序列，记其和为

根率纶与散理统外 基本定理 定理一：（独立同分布的中心极限定理) 设随机变量X1,X2,L,Xm,L相互独立，服从 同一分布，且具有数学期望和方差：E(Xk)=m, D(X)=s2>0(k=1,2,L),则随机变量之和的 X-EX9iX-nm 标准化变量Y,=口 ek=1 0=k= Dea x.9 NnS ek=1 0

基本定理 定理一：（独立同分布的中心极限定理）

概率伦与敖理统外 的分布函数Fn(x)对于任意x满足 i lim F (x)=limP= ￡x的 n®￥ n®￥ i NnS 2 e 2dt=F(x). N2元 定理一表明： 当n®Y,随机变量序列Y,的分布函数收敛于 标准正态分布的分布函数

定理一表明:

根率纶与数理统外「 定理二（李雅普诺夫中心极限定理） 李雅普诺夫 设随机变量X1,X,L,Xm,L相互独立，它 们具有数学期望和方差： E(Xk)=m,D(X6)=Sk210(k=1,2,L), 记 B盼=8s, k=1 若存在正数d,使得当n®￥时， BAE图Xm:3®0 k=1

定理二(李雅普诺夫中心极限定理) 李雅普诺夫