《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿，48学时）第四章 随机变量的数字特征 第二节 方差

概率伦与散理统针」 第二节方差 一、随机变量方差的概念及性质 二、重要分布的方差 三、例题讲解

一、随机变量方差的概念及性质 三、例题讲解 二、重要分布的方差 第二节 方 差

概率论与赦理统计 一、方差的概念及性质 引例1射击问题 甲乙两人射击，各10次，（命中的环数 是一个随机变量)射中次数记录如下 甲命中环数 8910 乙命中环数 8 910 命中次数 81 命中次数 42 4 试问：甲乙选谁参加比赛？

甲乙两人射击，各10次,(命中的环数 是一个随机变量).射中次数记录如下 引例1 射击问题 试问:甲乙选谁参加比赛? 8 9 10 181 甲命中环数 命中次数 一、方差的概念及性质 8 9 10 424 乙命中环数 命中次数

概率论与散理统外「 引例2两批灯泡，其平均寿命都是E)=1000小时 1000 0 1000 x

引例2 两批灯泡,其平均寿命都是 E(X)=1000小时.  O x          O x          1000  1000

概率论与故理统外 2.方差的定义 设X是一个随机变量，若E{LX-E(X))}存在， 则称E{X-E(X)}为X的方差，记为D(X)或 Var(X),即. D(X)=Var(X)=EX-E(X). 称√D(X)为标准差或均方差，记为σ(X):

( ) , ( ). ( ) Var( ) {[ ( )] }. Var( ), {[ ( ) ] } , ( ) , {[ ( )] } , 2 2 2 D X σ X D X X E X E X X E X E X X D X X E X E X 称 为标准差或均方差 记为 即 则称 为 的方差 记为 或 设 是一个随机变量 若 存在       2. 方差的定义

概率论与散理统外「 3.方差的意义 方差体现随机变量X取值的离散程度， 如果D)值大，表示X取值离散程度大， 如果D)值小，表示X的取值比较集中。 ⑦

方差体现随机变量 X 取值的离散程度. 3. 方差的意义 如果 D(X) 值小,表示X 的取值比较集中。 如果 D(X) 值大,表示X 取值离散程度大

概率论与散理统外 4.方差的计算 (1)利用定义计算 D(X)=EIX-E(X) 离散型 D(X)=∑x4-E(XPP, 其中P{X=x}=pk,k=1,2,是X的分布律. 连续型 D(X)=x-E(X)f(x)dx, 其中f(x)为X的概率密度. (2)利用公式计算 D(X)=E(X2)-IE(X)2

离散型 ( ) [ ( )] , 1 2 k k k D X  x E X p     连续型 ( ) [ ( )] ( )d , 2 D X x E X f x x      4. 方差的计算 (1) 利用定义计算 其中 f (x)为X的概率密度. 其中 P{X x } p , k 1,2, 是 X 的分布律.  k  k   ( ) {[ ( )] } 2 D X  E X  E X ( ) ( ) [ ( ) ] . 2 2 D X  E X  E X (2) 利用公式计算

概率论与数理统外「 5.方差的性质 (1)设C是常数，则有D(C)=0. (2)设X是一个随机变量，C是常数，则有 D(CX)=C'D(X).D(X+C)=D(X). (3)D(X+Y)=D(X)+DY)+2E{(X-E(X)Y-E(Y)} 设若X,Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y) (4)D(X)=0→P{X=E(X)}=1

5. 方差的性质 (1) 设 C 是常数, 则有 D(C)  0. (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 ( ) ( ). 2 D CX  C D X 设若X, Y 相互独立, 则 D X Y D X D Y ( + ) ( ) ( ).   ( ) ( ). D X C D X   3 ( + ) ( ) ( )+2 .  D X Y D X D Y E X E X Y E Y          4 ( )=0 1  D X P X E X      

概率论与散理统计 二、重要概率分布的方差 1.两点分布 0 P 1-p 则有E(X)=1·p+0q=p, x21 0 D(X)=E(X)-[E(X)2 1-p =12·p+02.(1-p)-p1 =p(1-p)

1. 两点分布 E(X)  1 p  0  q X p 1 0 p 1  p 则有  p, 2 2 D(X)  E(X ) [E(X)] 2 2 2  1  p  0 (1  p)  p p  p (1  p ) 二、重要概率分布的方差 2 X p 1 0 p 1  p

概率论与散理统外「 2.二项分布 设随机变量X服从参数为n,p二项分布， 其分布律为 P{X=k}=Cp(1-p)"-k,(k=0,12,.,n), 则有 0<p<1. E (X)=np D (X)=np(1-p)

2. 二项分布 P{X k} C p (1 p) ,(k 0,1,2, ,n), k k n k   n     则有 0  p  1. E ( X )  n p 设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为 D ( X )  n p (1  p )

概率论与敖理统计 3.泊松分布 设X~π(2)，且分布律为 P(X=k)= 点e,6=01,2,>0 2」 则有E(X)= D(X)=E(X)-[E(X)

3. 泊松分布 e , 0,1,2, , 0. ! {  }        k  k P X k k 则有 E X( )   设 X ~ π(), 且分布律为 2 2 D(X)  E(X ) [E(X)]