《高等数学》课程教学资源（PPT课件）高等数学1.2 数列的极限

第一章 第二节 教列的教限 一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质 三、极限存在准则 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第一章 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则 一、数列极限的定义 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限

一、数列极限的定义 定义：自变量取正整数的函数称为数列，记作x,=f(n) 或{xn}.xn称为通项（一般项） 若数列{xn}及常数a有下列关系 Ve>0,3正数N,当n>N时，总有 xn-a<8 则称该数列{x,m}的极限为a,记作 lim=a或xn→a(n-→∞） n-→o0 此时也称数列收敛，否则称数列发散 几何解释： a-8 Xn+ a XN+2 a+8 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 称为通项(一般项) . 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n > N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : a − a + ( ) x a n n = → lim 或 x → a (n → ) n N+1 x N+2 x 则称该数列 的极限为 a , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一 、数列极限的定义

例1.已知x, n+-l)” 证明数列{x,m}的极限为1 n Ve>0,欲使xn-1 因此，取N=力，则当n>N时就有 n+-lY-】 故 lim=lim n+(-1”= n-→00 n-→∞ n HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 已知 证明数列 的极限为1. 证: xn −1 = 1 ( 1) − + − n n n   0 , 欲使 即 只要  1 n  因此 , 取 ], 1 [  N = 则当 n  N 时, 就有 −   + − 1 ( 1) n n n 故 1 ( 1) lim lim = + − = → → n n x n n n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.已知x,= (-1)” (n+1)2 证明1imxn=0, n→00 证：xn-0= -小 Ve∈(0,1)，欲使xn-0 n+1 取N=后-，则当n>N时，就有k,-0o0 n-→(n+1)2 0 也可由 x-0F 说明：N与有关，但不唯一 取 N=【e-1] 不一定取最小的N HIGH EDUCATION PRESS ◆0C08 机动目录上页下页返回结束

例2. 已知 证明 证: xn − 0 = 2 ( 1) 1 + = n 1 1 +  n  (0,1), 欲使 只要 , 1 1   n + 即 n  取 1], 1 = [ −  N 则当 n  N 时, 就有 − 0   , n x 故 0 ( 1) ( 1) lim lim 2 = + − = → → n x n n n n 故也可取 [ ] 1  N = 也可由 2 ( 1) 1 0 + − = n n x 1. 1 −  N 与  有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取  1  1 = −  N 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.设91+ Ing In g 因此取N-+】则当N前南 q-0< 故 1img-1=0 n-→o0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 设 q 1, 证明等比数列 证: − 0 n x 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取   +   = q N ln ln 1  , 则当 n > N 时, 就有 −   − 0 n 1 q 故 lim 0 1 = − → n n q . ln ln 1 q n   + 的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、收敛数列的性质 b-a 2 1.收敛数列的极限唯一 鹨 b 证：用反证法.假设lim=a及lim=b,且ao 取8=2，因1imxn=a,故存在V,使当n>N时， n->oo x-ak2,从而xnN2时，有 n-→oo x-bk经2，从而xn>岁 取N=max{N1,N2},则当n>N时，xn满足的不等式 矛盾故假设不真！因此收敛数列的极限必唯一， HIGH EDUCATION PRESS ◆0C08 机动目录上页下页返回结束

 − 2 3a b 2 2 b a n b a x a − − −  −  二、收敛数列的性质 证: 用反证法. 及 且 a  b. 取 因 lim x a, n n = → 故存在 N1 , 从而 2 a b n x +  同理, 因 lim x b, n n = → 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有 2 a b n x +  1. 收敛数列的极限唯一. 使当 n > N1 时, 假设 2 2 b a n b a x b − − −  −  n a b  x + 2 2 3b−a  从而 2 a b n x +  矛盾. 因此收敛数列的极限必唯一. 取N = maxN1 , N2 , 则当 n > N 时, 故假设不真 ! n x 满足的不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.证明数列xn=(-1)”+1(n=1,2,.)是发散的 证：用反证法 假设数列{xn}收敛，则有唯一极限a存在 取￡=)，则存在V,使当n>V时，有 a-xn<a+ a-2 但因x,交替取值1与-1，而此二数不可能同时落在 长度为1的开区间(a-分，Q+2)内，因此该数列发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例4. 证明数列 是发散的. 证: 用反证法. 假设数列 xn  收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取 , 2 1  = 则存在 N , 2 1 2 1 a −  xn  a + 但因 n x 交替取值 1 与－1 , ( , ) 2 1 2 1 a − a + 内, 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n > N 时 , 有 因此该数列发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.收敛数列一定有界 证：设1mx,=a,取&=1，则3N,当n>W时，有 n->00 xn-a<1,从而有 x=(x-a)+a<|xn-a+a<1+al 取 M=max,1+al 则有 |xn≤M(n=1,2,.) 由此证明收敛数列必有界 说明：此性质反过来不一定成立.例如， 数列 {-1)y+1 虽有界但不收敛 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2. 收敛数列一定有界. 证: 设 取  =1, 则 N , 当 n  N 时, 从而有  xn − a + a 1+ a 取 M = max x1 , x2 ,  , xN , 1+ a  则有 x  M ( n =1, 2 , ). n 由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,  1 ( 1) + − n 虽有界但不收敛 . x − a 1, n 有 数列 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.收敛数列的保号性 若1mxn=a,且a>0(N 7n-→0∞ 时，有xn>0(0,取c=号，则3NeN*,当n>V时， xm-ak号x>a-号>0 a 推论：若数列从某项起xn≥0（≤0）且1mxn=a, n->00 则a≥0（≤0）.（用反证法证明） 》HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3. 收敛数列的保号性. 若 且 时, 有 ( 0), ( 0). 证: 对 a > 0 , 取 推论: 若数列从某项起 ( 0) ( 0). (用反证法证明) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限： 证：设数列{x}是数列{xn}的任一子数列 若1imxn=a,则V6>0,3N,当n>N时，有 n→o0 xn-aK时，有 XN n,>nx≥N 米米米米米米米*米米米米米米米米米米米米米 N 从而有 o0 HIGH EDUCATION PRESS eC8 机动目录上页下页返回结束

********************* x − a   , k n 4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 证: 设数列 是数列 的任一子数列 . 若 则   0, N , 当 时, 有 现取正整数 K , 使 于是当 k  K 时, 有 nk   N 从而有 由此证明 lim x a . k n k = → ********************* N N x 机动 目录 上页 下页 返回 结束