《高等数学》课程教学资源（PPT课件）高等数学2.2 函数的求导法则

第二节 第二章 益数的求导法则 一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 等HIGH EDUCATION PRESS

第二节 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的求导法则 第二章

思路： f'(x)=lim f(x+△x)-f(x) 构造性定义〉 △x→>0 △x 本节内容 求导法则 (C)=0 (sinx)'=cosx 证明中利用了 (Inx)'= 1 其它基本初等 两个重要极限 X 函数求导公式 初等函数求导问题 HIGH EDUCATION PRESS

思路: x f x x f x f x x         ( ) ( ) ( ) lim 0 ( 构造性定义 ) 求导法则 其它基本初等 函数求导公式 0 cos x x 1 (C )  (sin x )  (ln x )  证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题 本节内容 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、 四则运算求导法则 定理1.函数u=(x)及v=v(x)都在x具有导数 > u(x)及v(x)的和、差、积、商（除分母 为O的点外)都在点x可导，且 (I)[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x) (2)[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)p'(x) u(x)v(x)-u(x)v'(x) (v(x)≠0) v2(x) 下面分三部分加以证明，并同时给出相应的推论和 例题 HIGH EDUCATION PRESS

一、四则运算求导法则 定理1. 函数u  u(x)及v  v(x)都在 x具有导数 u(x)及v(x) 的和、差、积、商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 (1) [u(x)  v(x)]  u (x)  v (x) (2) [u(x)v(x)]  u (x)v(x)  u(x)v (x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) 2 v x u x v x u x v x v x u x            下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 . (v(x)  0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(I)(u士y)y=±v' 证：设f(x)=u(x)士v(x),则 f'(x)=1im f(x+h)-f(x) h-→>0 h lim [u(x+h)士v(x+h)]-[(x)±v(x)] h-→0 h lim u(x+h)-u(x) ±lim v(x+h)-v(x) h->0 h h-→0 h =u'(x)±v'(x) 故结论成立 此法则可推广到任意有限项的情形例如， 例如，(u+v-w)'=i+y'-w HIGH EDUCATION PRESS 结

此法则可推广到任意有限项的情形. 证: 设 , 则 (1) (u  v)  u   v  f (x)  u(x)  v(x) h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0      h u x h v x h u x v x h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0        h u x h u x h ( ) ( ) lim 0     h v x h v x h ( ) ( ) lim 0      u (x)  v (x) 故结论成立. 例如, (u  v  w)  u   v   w  机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如

(2) (uv)'=u'v+uv' 证：设f(x)=u(x)v(x), 则有 ()=lim-()=lim(v(-u(x)v(x) h>0 h h->0 h 月-te+创++m] h =u'(x)v(x)+u(x)p'(x) 故结论成立 推论：)(Cu'=Cu(C为常数) 2)(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw' 3)(log x)= (h)- xlna HIGH EDUCATION PRESS 返回 结环

(2) (uv)  u  v  u v  证: 设 f (x)  u(x)v(x) , 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0      h u x h v x h u x v x h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0       u (x)v(x)  u(x)v (x) 故结论成立.        h u x h h ( ) lim 0 u(x) v(x  h)      h v(x) u(x) v(x  h) 推论: 1) (Cu )  2) (uvw)  Cu  u  vw  uv  w  uvw  3) (loga x )         a x ln ln x ln a 1  机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )

例1.y=2x3-5x2+3x-7,求y 咖.f)=T=4s-n号求)及 例3.y=e'(sinx+cosx） 求y HIGH EDUCATION PRESS 新动

例1. 例2. 3 2 y  2x  5x  3x  7 , 求 y  3 ( ) 4cos sin 2 f x x x     ( ) ( ) 2 f x f  求  及  机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. (sin cos ) x y  e x  x 求y 

(3) () uv-uv" 证：设fx)=“,则有 v(x)> u(x+h) u(x) "(x)=lim f(=f()=lim v(x+h) v(x) h→>0 h h>0 h +月-4)-M)C+分-） =网 h v(x+h)v(x) u'(x)v(x)-u(x)v(x) 故结论成立 v2(x) 推论： (- (C为常数) HIGH EDUCATION PRESS 自录 返回 结

         ( ) ( ) lim h 0 v x h v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v x h v x u x h v x u x v x h     h  u(x)v(x) (3)   2 v u v u v v u      证: 设 f (x)  则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0      h h lim 0  , ( ) ( ) v x u x ( ) ( ) v x h u x h   ( ) ( ) v x u x  h u(x  h)  u(x) v(x) h v(x  h)  u(x)  v(x) 故结论成立. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u  x v x  u x v  x  推论:   2 v C v v C     机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )

例45.求证(tanx)'=sec2x,(cscx)/=-cscxcotx. 证：amxy=( (sinx)'cosx-sinx(cosx) cos x cos-x cos2 x +sinx =sec2 x cos-x sinx sin2x =-cscxcotx 类似可证：(cotx)'=-csc2x,(secx)'=secxtanx. HIGH EDUCATION PRESS 凯动 结

(csc x)         sin x 1 x 2 sin   (sin x) x 2 sin  例4 5. 求证 (tan ) sec , 2 x   x 证: (csc x)  csc x cot x .          x x x cos sin (tan )  x 2 cos (sin x)cos x  sin x (cos x)  x 2 cos x 2 cos x 2  sin x 2  sec  cos x  csc x cot x 类似可证: (cot ) csc , 2 x    x (sec x)  sec x tan x . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、反函数的求导法则 定理2.设y=∫(x)为x=f(y)的反函数，f(y)在 y的某邻域内单调可导，且[f(y)]≠0 Lo 或 dy=- d x d x d 证：在x处给增量△x≠0，由反函数的单调性知 △y=/x+Ax)-f()≠0， △y 且由反函数的连续性知△x→0时必有△y→0，因此 "()lim A lim △x-→0△X -→0Ax △y [f(y)] HIGH EDUCATION PRESS 动 返回 结环

f (x)  二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 ( ) ( ) , 设 y  f x 为 x  f 1 y 的反函数 f 1 ( y) 在 [ ( )] 0 1    且 f y d d  x y 或 x  0, y  f (x  x)  f (x)  0,     x y y x   x  0时必有y  0, x y f x x      0 ( ) lim lim  0  y y x   y x d d  1 [ ( )] 1   f y 1 1 [ ( )] 1   f y 1 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例678.求反三角函数及指数函数的导数 解：)设y=acnx,则x=sny,ye(-子子 元) .Cosy>0,则 (arcsinx)= (sin y) cos y -sin y V1-x2 利用 π arccosx)=- arccosx= arcsinx 1-x2 2 类似可求得 (arctanx)= 1+x2 (arccotx)=- 1+x2 HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页

1  例6 7 8. 求反三角函数及指数函数的导数. 解: 1) 设 y  arcsin x , 则 x  sin y , ) , 2 , 2 (   y   (arcsin x) (sin y) cos y 1  y 2 1 sin 1   2 1 1 x  类似可求得 (arccos x)  ? , 1 1 (arctan ) 2 x x    2 1 1 (arccot ) x x     2 1 1 x  x arcsin x 2 arccos    利用  cos y  0 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束