《高等数学》课程教学资源（PPT课件）高等数学1.10 闭区间上连续函数的性质

第一章 第十节 闭区间上连续画数的性质 一、 最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第十节 一、最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 闭区间上连续函数的性质 第一章

一、 有界性与最大值最小值定理 定理1.在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界 且一定能取得它的最大值和最小值， 即：设f(x)∈C[a,b],则3气i,52∈[a,b],使 f()=min,f(x) a≤x≤b y.y=f(x) f(52)=max f(x) a≤x≤b (证明略) 0a5152bx 注意：若函数在开区间上连续，」 或在闭区间内有间断 点，结论不一定成立 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 页下页返回结束

注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 一、有界性与最大值最小值定理 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 f (x)C[a, b], o x y a b y = f (x)  1  2 则 , [ , ],  1  2  a b 使 ( ) min ( ) 1 f f x a  xb  = ( ) max ( ) 2 f f x a xb  = 且一定能取得它的最大值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有界 (证明略) 点 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如，y=x,x∈(0,1) 无最大值和最小值 又如， -x+1,0≤x<1 f(x)= 1， x=1 -x+3,1<x≤2 也无最大值和最小值 HIGH EDUCATION PRESS eOC8 机动目录上页下页返回结束

例如, 无最大值和最小值 o x y 1 1 x o y 1 1 2 2 也无最大值和最小值 又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、零点定理与介值定理 定理2.（零点定理）f(x)∈C[a,b], y=f 且f(a)f(b)<0=至少有-点 5∈(a,b),使f(5)=0. (证明略) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、零点定理与介值定理 定理2. ( 零点定理 ) 且 至少有一点 使 x y o a b y = f (x)  机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 )

定理3.（介值定理）设f(x)∈C[a,b],且f(a)=A, f(b)=B,A≠B,则对A与B之间的任一数C,至少有 一点5∈(a,b),使f(5)=C =f(x) 证：作辅助函数 p(x)=f(x)-C 则0(x)∈CLa,b],且 p(a(b)=(A-C)(B-C)<0 故由零点定理知，至少有一点5∈(a,b),使p(5)=0, 即 f(5)=C. 推论：在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最 大值之间的任何值（值域为闭区间) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理3. ( 介值定理 ) 设 f (x)C[a, b], 且 f (a) = A, f (b) = B, A  B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 (x) = f (x) −C 则 (x)C[a, b] , 且 (a) (b) = (A−C)(B −C) 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 推论: A o b x y a y = f (x) B C  使 至少有 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 （值域为闭区间）. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有 一个根 证：显然f(x)=x3-4x2+1eC[0,1],又 f(0)=1>0,f1)=-2<0 故据零点定理，至少存在一点5∈(0,1)，使f(5)=0,即 53-452+1=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 证明方程 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 在区间 内至少有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 设f(x)∈C[a,b],则 1.f(x)在[a,b]上有界 2.f(x)在[a,b]上达到最大值与最小值， 3.f(x)在[a,b]上可取最大与最小值之间的任何值： 4.当f(af(b)<0时，必存在5∈(a,b),使f(5)=0. HIGH EDUCATION PRESS ◆0C08 机动目录上页下页返回结束

内容小结 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4. 当 时, 必存在 使 上有界; 在 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束

作业 P702;3 HIGH EDUCATION PRESS 习题课目录上页下页返回结束

则 作业 P70 2 ; 3 习题课 目录 上页 下页 返回 结束