《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）高等数学2.4

第四节 第二章 隐益数和参数方程水导 相关变化牵 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 等HIGH EDUCATION PRESS 结

第四节 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章

一、隐函数的导数 若由方程F(x,y)=O可确定y是x的函数，则称此 函数为隐函数 由y=f(x)表示的函数，称为显函数 例如，x-y3-1=0可确定显函数y=1-x y3+2y-x-3x7=0可确定y是x的函数， 但此隐函数不能显化 隐函数求导方法：F(x,y)=0 两边对x求导 d F(x,y)=0(含导数y的方程) dx HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录 结球

一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 的方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.设y=y(x)由方程e+xy=e确定，求yx), 解：方程两边对x求导，得 eyc+y+xyc=O 整理得 HIGH EDUCATION PRESS 08 下 返回 结

例1. 设 由方程 确定 , 解: 方程两边对 x 求导, 得 整理 得 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.求由方程y+2y-x-3x7=0确定的隐函数 y=v(x)在x=0处的导数 dy dx x=0 解：方程两边对x求导 0*23-0 得 5+21-21e=0 dx _dx dy_1+21x6 d5y4+2 因x=0时y=0，故 dy dxx=0 2 HIGH EDUCATION PRESS 结球

例2. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.求椭圆 + =1在点(2,3)处的切线方程 169 解：椭圆方程两边对x求导 =0 8 3 x=2 x=2 y=3 16y 3 4 3 即 W3x+4y-8/3=0 HIGH EDUCATION PRESS 动 目录 下页 返回 结录

例3. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5.求y=xnx(x>0)的导数 解：两边取对数，化为隐式 In y=sin xXnx 两边对x求导 =cosxx+ nx ve-xsi(cosxsinx HIGH EDUCATION PRESS

例5. 求 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明： 1)对幂指函数y='可用对数求导法求导 In y =vlnu y=vonu+ g'(gnu+u） 注意： yc=u'Inu wve+vu-!xus 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 HIGH EDUCATION PRESS 结球

1) 对幂指函数 可用对数求导法求导 : 说明: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2)有些显函数用对数求导法求导很方便 6 例如，y= 8ba&xoěaa (a>0,6>0,8) 两边取对数 Iny=xIn+a[lnb-Inx]+b[Inx-Inal 两边对x求导 aa b d Y= aa6 abo aexo ae b o n e b HIGH EDUCATION PRESS 结束

2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如, 两边取对数 两边对 x 求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(x-1(x-2) 又如，y= V(x-3)(x-4) 两边取对数 (In u D= Iny-g[m-4 对x求导 4 HIGH EDUCATION PRESS 动

又如, 对 x 求导 两边取对数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 x=j(0 1 iy=y (t) 可确定一个y与x之间的函数 关系，i()y()可导，且q)+[y210,则 it)10时，有 dy=dydr-d业x1=y dx dt dx dt dx j） y4t)10时，有 dt 1 -j dt dy dt at) (此时看成x是y的函数) HIGH EDUCATION PRESS 结球

二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 时, 有 时, 有 (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 机动 目录 上页 下页 返回 结束