《高等数学》课程教学资源（PPT课件）高等数学1.1 函数与极限

第一章 温教与极民 函数一 研究对象 分析基础 极限一 研究方法 连续一 研究桥梁

第一章 分析基础 函数 极限 连续 — 研究对象 — 研究方法 — 研究桥梁 函数与极限

第一章 第一节 联射与盖教 一、 映射 二、函数 凯动目录上页 :下页返回结束

第一章 二、函数 一、映射 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 映射与函数

一、映射 1.映射的概念 引例1. 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号 >o 某教室座位 某班学生的集合 的集合 0 按一定规则入座 +o 机动目录上页下页返回结束

一、 映射 1. 映射的概念 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号 某班学生的集合 某教室座位 的集合 按一定规则入座 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例1

定义.设X,Y是两个非空集合，若存在一个对应规 则f,使得Vx∈X,有唯一确定的y∈Y与之对应，则 称f为从X到Y的映射，记作f:X→Y 元素y称为元素x在映射f下的像，记作y=f(x) 元素x称为元素y在映射f下的原像， 集合X称为映射f的定义域； Y的子集f(X)={f(x)x∈X}称为f的值域 注意：1)映射的三要素一定义域，对应规则，值域 2)元素x的像y是唯一的，但y的原像不一定唯一 机动目 上而 下页返回结球

定义. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应 , 则 称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X →Y. 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y = f (x). 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; Y 的子集 f (X) = f (x) x X  称为 f 的 值域 . 注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . X f Y 机动 目录 上页 下页 返回 结束

对映射f:X→Y 若f(X)=Y,则称f为满射， Y=f(X) 若Vx1,x2∈X,≠x2,有 f(x)≠f(x2) 则称f为单射； f(X 若f既是满射又是单射，则称f为双射或一一映射 动目录上页下页返回结束

对映射 若 f (X) = Y , 则称 f 为满射; X Y f = f (X ) 若 有 则称 f 为单射; 若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射. X Y 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.逆映射与复合映射 (1)逆映射的定义 定义：若映射f:D→f(D)为单射，则存在一新映射 f:fD)→D,使Vy∈f(D),f(y)=x,其中f(x)=y, 称此映射f为f的逆映射 习惯上，y=f(x),x∈D 的逆映射记成 y=f(x),x∈f(D) 例如，映射y=x2,x∈(-o0,0],其逆映射为 y=-/x,x∈[0，+o） 返回结

2. 逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义 定义: 若映射 为单射, 则存在一新映射 使 习惯上 , y = f (x), xD 的逆映射记成 ( ) , ( ) 1 y = f x x f D − 例如, 映射 其逆映射为 D f (D) f −1 f 其中 称此映射 −1 f 为 f 的逆映射 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2)复合映射 定义.设有映射链 →u=g(x)∈g(D) Vu∈D ·y=f()∈Y=f(D1) 则当g(D)cD,时，由上述映射链可定义由D到Y的复 合映射，记作y=f[g(x】,或fog(x),x∈D Y=f(D) ·y=f() 8( =f[g(x划 注意构成复合映射的条件g(D)CD,不可少 以上定义也可推广到多个映射的情形 机动目录上页下页返回结束

定义. xD g u = g(x) g(D) uD1 f 则当 1 g(D)  D 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复 f  g(x), xD. 设有映射链 合映射 , 记作 时, 或 g(D) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 构成复合映射的条件 1 g(D)  D 不可少. 以上定义也可推广到多个映射的情形. (2) 复合映射

二、函数 1.函数的概念 定义4.设数集DcR,则称映射f:D→R为定义在 D上的函数（其中D非空），记为 定义域 y=f(x),x∈D 因变量 自变量 f(D)称为值域 函数图形： C={(x,y)y=f(x),x∈D} a x b (D=[a,b]) EDxf(D) 下页返回结

定义域 二、函数 1. 函数的概念 定义4. 设数集 D  R, 则称映射 为定义在 D 上的函数 (其中D非空), 记为 y = f (x), xD f ( D ) 称为值域 函数图形: C = (x , y) y = f (x ) , x D  x y ( D =[a, b]) a x b y  D f (D) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因变量 自变量

VxeD-I yef(D)={yy=f(x).xeD} (定义域) (对应规则 (值域) .定义域 使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合 •对应规律的表示方法： 解析法、图像法、列表法 例如，反正弦函数y=f(x)=arcsin x 定义域D=[-1,1],值域/(D)=[-受，号1 叉如造送发-之： 定义域D=R 值域f(D)=[0,+o) 机动目录上页下页返回结束

 x D f y f (D) =  y y = f (x), xD (定义域) (对应规则) (值域) 例如, 反正弦函数 • 定义域 • 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法、列表法 使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合. 定义域 值域 又如, 绝对值函数 定义域 值 域 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.函数的几种特性 设函数y=f(x),x∈D,且有区间IcD (1)有界性 3M>0,Vx∈D,使f(x)川≤M,称f(x)为有界函数 3M>0,Vx∈I,使f(x)≤M,称f(x)在I上有界 说明：还可定义有上界、有下界、无界（见上册P6) (2)单调性 V,2∈1，x1f(x2),称f(x)为I上的 XI X2 单调减函数 「返回结球

2. 函数的几种特性 设函数 y = f (x) , xD , 且有区间 I  D . (1) 有界性 M  0,  x  D, 使 f (x)  M , 称 f (x) M  0,  x  I , 使 f (x)  M , 称 f (x) 说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P6 ) (2) 单调性 为有界函数. 在 I 上有界. 若对任意正数 M , 均存在 x  D, 使 f (x)  M, 则称 f ( x ) 无界. 称 为有上界 称 为有下界  , f (x)  M,  , M  f (x), x1 , x2  I, 当 1 2 x  x 时, ( ) ( ), 1 2 若 f x  f x 称 f (x) 为 I 上的 ( ) ( ), 1 2 若 f x  f x 称 f (x) 为 I 上的 单调增函数 ; 单调减函数 . x y 1 x 2 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束