《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿，48学时）第一章 概率论的基本概念 第六节 独立性

第六节独立性 一、事件的相互独立性 二、几个重要定理 三、例题讲解

一、事件的相互独立性 二、几个重要定理 三、例题讲解 第六节 独立性

一、事件的相互独立性 1.引例 盒中有5个球(3绿2红)，每次取出一个，有放回 地取两次.记 A=第一次抽取，取到绿球， B=第二次抽取，取到绿球， 则有 P(BA)=P(B), 它表示A的发生并不影响B发生的可能性大小 P(BA)=P(B)P(AB)=P(A)P(B)

, , , , . 5 (3 2 ), , 第二次抽取 取到绿球 第一次抽取 取到绿球 地取两次 记 盒中有 个球 绿 红 每次取出一个 有放回   B A 则有 P(B A)  P(B), 它表示 A的发生并不影响 B 发生的可能性大小. P(B A)  P(B)  P(AB)  P(A)P(B) 1.引例 一、事件的相互独立性

2.定义 设A,B是两事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B相互独立，简称A,B独立 说明 事件A与事件B相互独立，是指事件A的 发生与事件B发生的概率无关

, , , . ( ) ( ) ( ) , , 则称事件 相互独立 简称 独立 设 是两事件 如果满足等式 A B A B P AB P A P B A B  事件 A 与 事件 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关. 说明 2.定义

练习 1、同时抛掷两枚（一元和五角)均匀硬币， A:一元硬币出现正面；B:五角硬币出现正面。 验证：事件A与B相互独立。 2、从一副扑克牌（抽掉大小王，52张牌） 中任取一张，A:取到黑桃；B:取到牌点为6。 问：事件A与B是否相互独立？

2、从一副扑克牌（抽掉大小王，52张牌） 中任取一张，A：取到黑桃；B：取到牌点为6。 问：事件A与B是否相互独立？ 练习 1、 同时抛掷两枚 （一元和五角）均匀硬币， A：一元硬币出现正面；B：五角硬币出现正面。 验证：事件A与B相互独立

二、几个重要定理 定理一设A,B是两事件，且P(A)>0.若A,B相 互独立，则P(BA)=P(B).反之亦然 定理二 若A,B相互独立，则下列各对事件， A与B,A与B,A与B也相互独立

, ( ) ( ). . , , ( ) 0. , 互独立 则 反之亦然 设 是两事件 且 若 相 P B A P B A B P A A B  定理一  , , . , , , 与 与 与 也相互独立 若 相互独立 则下列各对事件 A B A B A B 定理二 A B 二、几个重要定理

推广1：三事件相互独立的概念 定义 设A,B,C是三个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 则称事件A,B,C相互独立：

推广1：三事件相互独立的概念 , , . ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), , , , 则称事件 相互独立 定义 设 是三个事件 如果满足等式 A B C P ABC P A P B P C P AC P A P C P BC P B P C P AB P A P B A B C           

注意 三个事件相互独立三三个事件两两相互独立 例：将一枚均匀硬币抛掷两次， A1表示“第一次出现正面”，S={HH,HT,TH,TT} A2表示“第二次出现正面”，P(A)=1/2 A3表示“正反面各一次”， P(A)=1/2 判断A1、A2、A3的独立情况。 P(A)=1/2 P(A4)=P(A4)=P(AA)=1/4 P(444)=0

例：将一枚均匀硬币抛掷两次， A1表示“第一次出现正面” ， A2表示“第二次出现正面” ， A3表示“正反面各一次” ， 判断A1、A2、A3的独立情况。 S HH HT TH TT  { , , , } 1 2 3 ( ) 1/ 2 ( ) 1/ 2 ( ) 1/ 2 P A P A P A    1 2 1 3 2 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) 1/ 4 ( ) 0 P A A P A A P A A P A A A     注意 三个事件相互独立 三个事件两两相互独立

推广2设A1,A,An是n个事件，如果对于任意 k(1<k≤n),任意1≤i<i2<.<i≤n,具有等式 P(AA,.A)=P(A)P(A,).P(A, 则称A,A,A为相互独立的事件. n个事件相互独立二n个事件两两相互独立

( ) ( ) ( ) ( ), 1 2 k 1 2 k P Ai Ai Ai  P Ai P Ai P Ai , , , . 则称 A1 A2  A n 为相互独立的事件 n 个事件相互独立 n个事件两两相互独立 任意 具有等式 设 是 个事件 如果对于任意 (1 ), 1 , , , , , 1 2 1 2 k k n i i i n A A A n k n        推广2 

结论 1.若事件A1,A2,An(n≥2)相互独立，则 其中任意k(2≤k≤)个事件也是相互独立. 2.若n个事件A1,A2,An(n≥2)相互独立， 则将A1,A2,An中任意多个事件换成它们的对 立事件，所得的n个事件仍相互独立. 3.☑，S与任何事件相互独立

结论 (2 ) . 1. , , , ( 2) , 1 2 其中任意 个事件也是相互独立 若事件 相互独立 则 k k n A A An n     , . , , , 2. , , , ( 2) , 1 2 1 2 立事件 所得的 个事件仍相互独立 则将 中任意多个事件换成它们的对 若 个事件 相互独立 n A A A n A A A n n n    3. , S 与任何事件相互独立

例1：已知P(A)=0.2,P(B)=0.3,求A,B至少发生一个 的概率。 (1)若A,B互不相容： (2)若A,B相互独立

例1： 的概率。 已知 P(A)  0.2, P(B)  0.3,求A, B至少发生一个 （ ）若 相互独立。 （）若 互不相容； A B A B 2 , 1