《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿，48学时）第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量

第一节二雅随机变量 一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布

一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布 第一节 二维随机变量

一、二维随机变量及其分布函数 引例1炮弹的弹着点的 位置(X,Y)是一个二维随 机变量. 引例2考查某一地区学前 儿童的发育情况，儿童的身 高H和体重W构成二维随 机变量(H,W)

引例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 是一个二维随 机变量. 引例2 考查某一地 区学前 儿童的发育情况 , 儿童的身 高 H 和体重 W 构成二维随 机变量 ( H, W ). 一、二维随机变量及其分布函数

1.定义 设E是一个随机试验，它的样本空间是S={}, 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量， 由它们构成的一个向量(X,Y),叫作二维随机向量 或二维随机变量. ●X(e) Y(e)

 e Y(e) S  X(e) . ( , ), ( ) ( ) , , { }, 或二维随机变量 由它们构成的一个向量 叫作二维随机向量 设 和 是定义在 上的随机变量 设 是一个随机试验 它的样本空间是 X Y X X e Y Y e S E S e    1.定义

2.二维随机变量的分布函数 ()分布函数的定义 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y, F(x,y)=P{(≤x)∩(Y≤y)} =P{X≤x,Y≤y} 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随 机变量X和Y的联合分布函数

2.二维随机变量的分布函数 (1)分布函数的定义 ( , ) , , , ( , ) {( ) ( )} { , } ( , ) , . X Y x y F x y P X x Y y P X x Y y X Y X Y       设 是二维随机变量 对于任意实数 称为二维随机变量 的分布函数 或称为随 机变量 和 的联合分布函数

[Y (x,y) X≤xY≤y 0 文

o x y (x, y)  X  x,Y  y

(2)分布函数的性质 1°F(x,y)是变量x和y的不减函数， 对于任意固定的y,当x2>x时F(x2,y)≥F(x,y), 对于任意固定的x,当y2>y时F(x,)≥F(x,) 2°0≤F(x,y)≤1，且有 对于任意固定的y,F(-oo,y)=IimF(x,y)=0, 对于任意固定的x,F(x,-oo)=limF(x,y)=0, F(-00,-0o)=lim F(x,y)=0,F(+o0,+o)=lim F(x,y)=1. y-→-00 y→+0

(2) 分布函数的性质 o 2 1 2 1 1 ( , ) , , ( , ) ( , ), F x y x y y x x F x y F x y   是变量 和 的不减函数 对于任意固定的 当 时 2 1 2 1 对于任意固定的x y y F x y F x y , ( , ) ( , ). 当   时 2 0 ( , ) 1, o  F x y  对于任意固定的 y, (, )  lim ( , )  0,  F y F x y x 且有 对于任意固定的 x, ( ,)  lim ( , )  0,  F x F x y y (,)  lim ( , )  0,   F F x y y x (,)  lim ( , )  1.   F F x y y x

3°F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0), 即F(,y)关于x右连续，关于y也右连续， 4对于任意(K1,1),(x2,Jy2),1<x2<y2 有F(x2,y2)-F(x2y1)+F(x11)-F(x12)≥0

( , ) , . 3 ( , ) ( 0, ), ( , ) ( , 0), o 即 F x y 关于 x 右连续 关于 y 也右连续 F x y  F x  y F x y  F x y  4 ( , ),( , ), , , 1 1 2 2 1 2 1 2 o 对于任意 x y x y x  x y  y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0. 2 2 2 1 1 1 1 2 有 F x y  F x y  F x y  F x y 

二、二维离散型随机变量 1.定义 若二维随机变量(X,Y)所取的可能值是有 限对或无限可列多对，则称(X,)为二维离散型 随机变量

若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量. 二、二维离散型随机变量 1. 定义

2.二维离散型随机变量的分布律 设二维离散型随机变量(X,)所有可能取的 值为(x,y),i,j=1,2,.,记 P{X=x,Y=yj}=pi,i,j=1,2,., 称此为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律， 或随机变量X和Y的联合分布律

2. 二维离散型随机变量的分布律 . ( , ) , { , } , , 1, 2, , ( , ), , 1, 2, , ( , ) 或随机变量 和 的联合分布律 称此为二维离散型随机变量 的分布律 值为 记 设二维离散型随机变量 所有可能取的 X Y X Y P X x Y y p i j x y i j X Y i j ij i j       

P{X=x,Y=y}=P,i,j=1,2,. X 乃y2.y) X X2 P21P22 .P2j Pa Pi P 00 其中p20,∑∑P=1. i=1 is

{ , } , , 1, 2, P X x Y y p i j     i j ij 0, 1. 1 1       i j 其 中 pij pij X Y 1 2 i x x x 1 2 j y y y 11 12 1 21 22 2 1 2 j j i i ij p p p p p p p p p