《高等数学》课程教学资源（PPT课件）高等数学1.5 极限运算法则

第一章 第五为 极限运算法则 无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、复合函数的极限运算法则 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 第五节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则

一、 无穷小运算法则 定理1.两（有限）个无穷小的和还是无穷小 证：考虑两个无穷小的和.设1ima=0,1im阝=0， x→xg Ve>0,81>0,当00,当0<x-x<δ2时，有p<号 取6=min{6,d2,则当0<x-xokδ时，有 &+B≤a+|B<号+号=8 因此 1im(a+)=0. x→x0 这说明当x→x,时，u+阝为无穷小量 HIGH EDUCATION PRESS 页下页返回结束

 = min 1 ,  2 , 时, 有 一、 无穷小运算法则 定理1. 两(有限)个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设   0, 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 0  x − x0    +    +  2 2    + =  因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证：设Vx∈U(xo,61),u≤M 又设limx=0,即Ve>0,382>0,当x∈U(xo,δ2) x->Xo 时，有a< 取δ=min{δ，62}，则当x∈U(xo,δ)时，就有 ucx=uax<M.号=8 故lim ua=0,即ua是x→xo时的无穷小 x-→x0 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 u  M 又设 lim 0, 0 = →  x x 即   0, 当 时, 有 M    取 min , ,  =  1  2 则当 ( , ) x x0    时 , 就有 u = u  M M    =  故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求lim sinx x→>00 sin x 17 解：sinx≤1 lim =0 x→0X sinx 利用定理2可知1im =0 x-→00 sinx 说明：y=0是y= 的渐近线 HIGH EDUCATION PRESS D 机动目录上页下页返回结束

例1. 求 解: 0 1 lim = x→ x 利用定理 2 可知 x x y sin = 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、极限的四则运算法则 定理3(1).若limf(x)=A,1img(x)=B,则有 lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B 证：因limf(x)=A,1img(x)=B,则有 f(x)=A+@&,8(x)=B+B (其中a,B为无穷小 于是 f(x)±g(x)=(A+C)±(B+B) =(A±B)+(C±B) 由定理1可知±也是无穷小，再利用极限与无穷小 的关系定理，知定理结论成立 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、 极限的四则运算法则 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 f (x) = A+ , g(x) = B +  (其中  ,  为无穷小) 于是 f (x)  g(x) = (A+ )  (B +  ) = (A B) + (   ) 由定理 1 可知    也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理 3(1) . 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理32).若1imf(x)=A,1img(x)=B,则有 lim[f(x)g(x)]=lim f(x)limg(x)=4B 推论1.1im[Cf(x)】=Climf(x) (C为常数) 推论2.1im[f(x)]”=[limf(x)]”(n为正整数) 例2.设n次多项式Pn(x)=a0+a4x+.+anx”,试证 lim P (x)=P (xo). x→X0 证：limP,(x)=a0+a lim x+.+an lim x9 x→X0 x>X0 =Pn(xo） HIGH EDUCATION PRESS 动目录上页下页返回结束

定理 3(2) . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 推论 1 . lim[C f (x)] = Clim f (x) ( C 为常数 ) 推论 2 . n n lim[ f (x)] = [lim f (x)] ( n 为正整数 ) 例2. 设 n 次多项式 试证 lim ( ) ( ). 0 0 P x P x n n x x = → 证: = → lim ( ) 0 P x n x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理33).若imf(x)=A,limg(x)=B,且B0,则有 1im/)_limf(x)。A g(x)limg(x) B 证：因limf(x)=A,limg(x)=B,有 f(x)=A+&,g(x)=B+阝，其中a,B为无穷小 设 y= f(x)A_A+aA (Ba-A阝) g(x)BB+BB B(B±) 无穷小 有界 因此Y为无穷小， f(x) 8(x) 由极限与无穷小关系定理，得1im f(x)_4_limf(x) 8(x) B limg(x) HIGH EDUCATION PRESS ◆0C08 机动目录上页下页返回结束

为无穷小 (详见P44) B 2  B +  1 ( ) 1 g x = ( ) 0 x x   定理 3(3) . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 且 B≠0 , 则有 证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 有 f (x) = A+ , g(x) = B +  , 其中  ,  设 B A B A − + + =   ( ) 1 +  = B B (B − A) 无穷小 有界 因此  由极限与无穷小关系定理 , 得 = + B A g x f x ( ) ( ) 为无穷小, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理4.若limx=A,lim y=B,则有 n-→∞ ()lim(xn±y,n)=A±B n-→00 (2) lim xnyn=AB 1n-→o0 (3) 当yn≠0且B≠0时，limx2= A n-→oyn B 提示：因为数列是一种特殊的函数，故此定理可由 定理3,4,5直接得出结论 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理4 . 若 lim x A, lim y B , n n n n = = → → 则有 (1) lim( ) n n n x  y → n n n x y → (2) lim (3) 当y  0且B  0时, n B A y x n n n = → lim = A B = AB 提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理5.若limf(x)=A,limg(x)=B,且f(x)≥g(x) 则A≥B 提示：令p(x)=f(x)-g(x) 利用保号性定理证明 说明：定理3可推广到有限个函数相加、减的情形 HIGH EDUCATION PRESS

机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理5. 若 lim f (x) = A, limg(x) = B, 且 f (x)  g(x), 则 A B . (x) = f (x) − g(x) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 . 提示: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束

设有分式函数 R(x)= P(x) 其中P(x),Q(x)都是 e(x) 多项式，若Q(xo)≠0，试证：1imR(x)=R(xo) x→x0 lim P(x) 证： 1imR(x)=x→0 P(xo) =R(xo〉 x→x0 lim O(x) Q(x） x→x0 说明：若Q(x,)=0,不能直接用商的运算法则 例3. lim- -3 (x-3) lim =lim x→3 (x-3)(x+3) x→3X+3 x=3时分母为0！ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上 「下页返回结束

x = 3 时分母为 0 ! 3 1 lim x→ x 3 = + 设有分式函数 其中 都是 多项式 , 试证: 证: = → lim ( ) 0 R x x x lim ( ) lim ( ) 0 0 Q x P x x x x x → → 说明: 若 不能直接用商的运算法则 . 例3. 3 ( 3) lim ( 3)( 3) x x → x x − = − + 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束