《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）高等数学1.7

第一章 第七为 无穷小小的比轻 引例.x®0时，3x,x2,snx都是无穷小，但 sin x 1 li =0 lim x®03x x®03x3 sinx lim 0x2 =￥， 可见无穷小趋于0的速度是多样的 HIGH EDUCATION PRESS 凯动 返回 结球

第一章 都是无穷小, 第七节 引例 . 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小的比较

定义.设4，b是自变量同一变化过程中的无穷小， 若1m=0,则称口是比口高阶的无穷 b 记作 a 小， b=o(a) b 若limD=￥，则称口是比口低阶的无穷 a 小 b 若lim2=C10, 则称口是口的同阶无穷小 b 若lim =C10,则称口是关于口的k阶无穷 小 b 若lim2=l,则称口是口的等价无穷 记作a~b 小， 或b~a HIGH EDUCATION PRESS

定义. 若 则称 ￾ 是比 ￾ 高阶的无穷 小, 若 若 若 若 或 设 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 ￾ 是比 ￾ 低阶的无穷 小; 则称 ￾ 是 ￾ 的同阶无穷小; 则称 ￾ 是关于 ￾ 的 k 阶无穷 小; 则称 ￾ 是 ￾ 的等价无穷 小, 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如，当x®0时 x3=0(6x2); sinxx:tanxx arcsinxx 又如， 1-cosx lim 2sin 1 lim x®0 t? ®04() 2 故x®0时1-cosx是关于x的二阶无穷小，且 1-cosx2 HIGH EDUCATION PRESS 自录 下贡 返回 结球

例如 , 当 ～ 时 ～ ～ 又如 ， 故 时 是关于 x 的二阶无穷小, ～ 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.证明当x®0时.1+1子 证：lim"7+x-】 x®O a”-b”=(a-b)(a"1+an-2b+L+b1) (1+x2-1 lim x®0 nx[(1+x1+(1+xy-2+L+1] =1 \ 当x®0时，1+x-11x n HIGH EDUCATION PRESS 目录 结

例1. 证明: 当 时, ～ 证: ～ 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理1.a~b三 b =a +o(a) b 证：a~b三limD=1 a lm2.1D=0,即lmb-=0 a 三b-a=0(a),即b=4+o(a） 例2，x®0时，sinxx,tanx~x,故 x®0时，sinx=x+o(x),tanx=x+o(x) HIGH EDUCATION PRESS 返回 结球

～ ～ 定理1. 证: 即 即 例2, ～ ～ 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2.设a~aeb~bs且1mb 存在，则 a c b lim之=lim a ag b 证： lim lime a b lim lim lim=lim a c a ag 例3， lim tan 2x lim 2x_2 x®0 sin 5x x®05x5 HIGH EDUCATION PRESS 目录 -m

定理2 . 设 且 存在 , 则 证: 例3, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明：若4~b,且)(x)极限存在或有 界，则 lim aj(x)=lim bi(x)〉 例如， lim arcsin x>sin=lim x>sin=0 x®O x®0 例4.求1im tan x-sin x x®O 解： 原式≡lim tan x(1-cosx) 原式关1im x-x x®O r@0x3 lim x号x2 x®0 3 2 HIGH EDUCATION PRESS 动 目录 下 返回 结球

说明: 界, 则 例如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ￾ 例4. 求 解: 原式

例5.求1im +x23.1 x®0 cosx-I 解：当x®O时， 0+x2).1 cosx-1≈ \.原式=lim 3x2 2 x®0 3 HIGH EDUCATION PRESS 目录

例5. 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1.无穷小的比较 设口，口对同一自变量的变化过程为无穷小，且10 口是口的高阶无穷小 ￥ ▣是▣的低阶无穷小 lim a CC0),口是口的同阶无穷小 1, 口是口的等价无穷小 b lim=C0, ▣是口的k阶无穷小 HIGH EDUCATION PRESS 动 结球

内容小结 1. 无穷小的比较 设 ￾ , ￾ 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 ￾ 是 ￾ 的高阶无穷小 ￾ 是 ￾ 的低阶无穷小 ￾ 是 ￾ 的同阶无穷小 ￾ 是 ￾ 的等价无穷小 ￾ 是 ￾ 的 k 阶无穷小 机动 目录 上页 下页 返回 结束

常用等价无穷小：当x®0时， sinx~x, tanxx arcsinxx, 1-cosxx, 1+x-1~7x 2.等价无穷小替换定理Th2 作业 P555(1),(2),(3),(4) 等HIGH EDUCATION PRESS

2. 等价无穷小替换定理 ～ ～ ～ ～ ～ Th 2 作业 P55 5 (1)， (2)， (3)， (4) 常用等价无穷小 : 第八节 目录 上页 下页 返回 结束